Коротко — физика и способы восстановления коэффициентов.
1) Уравнение движения (малые отклонения, вязкое сопротивление):
- для поступательного маятника: $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_{\mathrm{ext}}(t)$,
- для крутильного (спиральная пружина создаёт крутящий момент): $I\ddot{\theta }+c\dot{\theta }+k\theta =M_{\mathrm{ext}}(t)$.
Здесь $m$ / $I$ — масса / момент инерции, $k$ — жёсткость пружины, $b$ или $c$ — коэффициент демпфирования (вязкое сопротивление воздуха), $F_{\mathrm{ext}}$/$M_{\mathrm{ext}}$ — внешняя сила/момент.
2) Свободные колебания и затухание (однородное уравнение):
- при слабом демпфировании (незатухающие колебания): решение имеет вид
$\theta (t)=A_0{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }_{d}t+\varphi )$,
где $\gamma =\frac{c}{2I}$, ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{I}}$, ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$.
Амплитуда убывает экспоненциально с коэффициентом $\gamma$.
3) Вынужденные колебания (гармоническая накачка $M_0\cos \omega t$):
- установившаяся амплитуда
$A(\omega )=\frac{M_0}{\sqrt{(k-I{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}$,
- сдвиг фазы относительно возбуждающей силы
$\tan \varphi (\omega )=\frac{c\omega }{k-I{\omega }^2}.$
4) Как по данным амплитуды и фазы восстановить $k$ и демпфирование $c$ (практически):
а) Метод свободного затухания:
- измерьте амплитуды через интервалы времени и найдите скорость затухания
$\gamma =-\frac{1}{t_2-t_1}\ln \frac{A(t_2)}{A(t_1)}.$ - измерьте частоту затухающих колебаний ${\omega }_d$ (по периоду).
- затем ${\omega }_0^2={\omega }_d^2+{\gamma }^2,k=I{\omega }_0^2,c=2I\gamma .$
б) Частотный метод (респондент/резонанс и фазa):
- измерьте амплитудно-частотную и фазовую характеристики $A(\omega ),\varphi (\omega )$.
- подгоните данные по моделям
$A(\omega )=\frac{M_0}{\sqrt{(k-I{\omega }^2{)}^2+(c\omega {)}^2}}$, $\varphi (\omega )=\arctan \frac{c\omega }{k-I{\omega }^2}.$ Подбор параметров (напр., методом наименьших квадратов) даёт оценки $k$ и $c$.
- упрощённо: найти резонансную частоту ${\omega }_{\mathrm{res}}$ (максимум амплитуды). Для малого демпфирования ${\omega }_{\mathrm{res}}\approx {\omega }_0$. Определите добротность
$Q=\frac{{\omega }_{\mathrm{res}}}{\Delta \omega },$ где $\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1$ — полуширина по уровню $1/\sqrt{2}$ амплитуды; затем
$\gamma =\frac{{\omega }_0}{2Q},c=2I\gamma ,k=I{\omega }_0^2.$
5) Замечания:
- Все приведённые формулы предполагают линейное (вязкое) демпфирование. При нелинейном сопротивлении (квадратичном и т.п.) нужно учитывать нелинейную модель и подбирать её.
- Практически удобно комбинировать методы: логарифмический декремент (свободное затухание) даёт точную $\gamma$, частотная характеристика — хорошая проверка и оценка $k$.
Если нужны конкретные шаги для ваших измерений (какие значения измерить, как аппроксимировать), скажите тип маятника и доступные данные (временные ряды амплитуды/фазы или АЧХ).