Кратко: при росте частоты вертикальных колебаний сосуда поведение молекул и их распределение скоростей проходит несколько режимов — от квазистатического (локальное равновесие, колебательная адiabатическая компрессия) через акустический (стоячие волны, акустическое поле + стационарный «стриминг») до разрежённого/баллистического (тормозные столкновения редки, неравновесное распределение). Ниже — ключевые параметры, признаки режимов и практические выводы для вибрационной сепарации.
Главные параметры (обозначения):
- $\omega =2\pi f$ — круговая частота.
- амплитуда колебаний $A$, амплитуда скорости поршня $U_p=A\omega$.
- тепловая скорость газа $\bar{v}\sim \sqrt{\frac{8k_{B}T}{\pi m}}$.
- средняя длина свободного пробега $\lambda$ и время между столкновениями $\tau =\lambda /\bar{v}$.
- число Кнудсена $Kn=\lambda /L$ (характ. размер сосуда $L$).
- акустическая длина волны ${\lambda }_a=c_s/f$.
- толщина вязкого (Штикса) граничного слоя $\delta =\sqrt{\frac{2\nu }{\omega }}$ (кинематическая вязкость $\nu$).
- отношение скоростей $Ma=U_p/c_s$ (Ма — для оценки нелинейности).
Режимы и что меняется
1) Низкие частоты, $\omega \tau \ll 1$ (много столкновений за период):
- Газ близок к локальному равновесию; распределение скоростей почти Максвелловское $f_0(v)\propto \exp (-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T})$.
- Молекулы испытывают орбитально-колебательные смещения (локальные осцилляции и макроскопический осцилляционный поток), но без существенной нелинейной ректификации (нет устойчивого дрейфа).
- Траектории: сильно перемешанные/диффузные из‑за частых столкновений.
2) Акустическая область, длина волны ${\lambda }_a$ соизмерима с размерами сосуда, при малом $Ma$:
- Возникают акустические стоячие волны (перепады давления) и колебательные поля скоростей $\sim U_p$.
- Нелинейная ректификация приводит к стационарному акустическому стримингу; характерная скорость стриминга масштабно оценивается как порядка квадрата колебательной скорости: $U_s\sim C\frac{U_p^2}{c_s}$ (C — числовой коэффициент, зависит от геометрии и вязкости).
- Стриминг часто ограничен слоем толщины $\delta =\sqrt{\frac{2\nu }{\omega }}$; при $\delta \ll R$ формируются крупномасштабные циркуляции (Rayleigh streaming).
- Траектории: сочетание быстрого осциллирующего движения и медленного стационарного дрейфа; частицы и крупные примеси могут собираться в узлах/пузырях стоячей волны под действием акустических сил.
- Распределение скоростей: в первой приближении $f=f_0+f_1$, где $f_1\sim O(U_p/\bar{v})$ — малое смещение; локальное приближение к Максвеллу сохраняется при $\omega \tau \ll 1$.
3) Высокие частоты / разрежённый газ, $\omega \tau \gtrsim 1$ или большой $Kn$:
- Столкновения редки за период — переход к баллистическому поведению. Молекулы «памятуют» столкновение со стеной/поршнем, возникает фазовый сдвиг между движением стен и молекулами.
- Траектории: почти прямолинейное движение между отскоками от стен; распределение скоростей может сильно отклоняться от Максвелла (двухкомпонентные или асимметричные формы), особенности зависят от коэффициента абсорбции/диффузности отражения стен.
- Для сильно разрежённого газа можно наблюдать направленный дрейф (урезультат ректификации ударов поршня) и температурные анизотропии.
- Формальное описание требует решения кинетического уравнения (Больцмана или его приближений).
Изменения распределения скоростей — суммарно:
- При $\omega \tau \ll 1$: небольшая поправка $f_1\sim O(U_p/\bar{v})$, локальная температура/средний поток изменяются динамически.
- При $\omega \tau \gtrsim 1$: существенные неравновесные формы, возможны двугорбые распределения и направленные сдвиги.
Практические выводы для устройств вибрационной (акустической) сепарации
- Выбор частоты определяет механизм разделения:
- Низкие частоты: макроскопическая конвекция и вибрационная перколяция — хороши для грубых/крупных частиц и для разрыхления слоёв.
- Акустические/ультразвуковые частоты: создание стоячих волн и акустической силы эффективны для тонкой сепарации мелких частиц (радиационная сила захватывает частицы в узлах/антинодах).
- Высокие частоты в разрежённой среде: можно реализовать селективный дрейф молекул/изотопов, но требует контроля коллизий и стен.
- Оценочные критерии проектировщика:
- Подберите $f$ так, чтобы ${\lambda }_a$ совпадала с требуемой конфигурацией стоячей волны (${\lambda }_a\sim$ характерный размер камеры).
- Контролируйте $\delta =\sqrt{\frac{2\nu }{\omega }}$ — если нужно крупномасштабное перемешивание, пусть $\delta$ велико; для сильного локального стриминга — малое $\delta$.
- Держите $Ma\ll 1$ чтобы избежать шоков и чрезмерного нагрева; при необходимости увеличивайте $U_p$ постепенно, так как стационарные скорости растут как $\sim U_p^2$.
- Учитывайте стеночные свойства (коэффициент аккомодации): от них зависит передача импульса молекулам и эффективность ректификации.
- Для газо‑молекулярного/изотопного разделения работайте в контролируемой разрежённости (целевой $Kn$) и решайте кинетическую задачу (Больцман) для прогнозов.
- Практические ограничения: нагрев газа (высокие частоты/амплитуды), энергетическая эффективность, эрозия стен и отслоение частиц у стен; нужно балансировать амплитуду/частоту и размеры камеры.
Короткая формула‑напоминание:
- $\omega =2\pi f$, $U_p=A\omega$, $\tau =\lambda /\bar{v}$, $\delta =\sqrt{2\nu /\omega }$, ${\lambda }_a=c_s/f$, критерий равновесия — $\omega \tau \ll 1$ (гидродинамика) vs $\omega \tau \gtrsim 1$ (кинетика).
Если нужно, могу дать оценку для конкретных чисел (давление, газ, размеры, амплитуда) и предложить оптимальную частоту/амплитуду для вашей задачи.