Не обязательно.
Внутренняя энергия твердого тела при комнатной температуре и при температуре $T$ изменяется пропорционально массе и удельной теплоёмкости:
$$\Delta U=mc\Delta T.$$ Для одинакового материала (медь) $c$ одинаково, поэтому при одинаковой конечной температуре разница $\Delta U$ пропорциональна массе $m$. Если ложка и вилка имеют разные массы, то их внутренняя энергия через $5$ минут (если они оба успели нагреться до температуры воды) будет разной. Они будут одинаковы только в том случае, если массы (или суммарные теплоёмкости) одинаковы либо если оба предмета имеют одинаковую начальную температуру и одинаковую массу.