Кратко и по существу.
Как параметры влияют на коэффициент прохождения T
- Ключевая величина при туннелировании — экспоненциальный фактор с параметром $\kappa$ в классической запрещённой области:
$$\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hslash }.$$ При приближении с одной барьерной областью часто используется интеграл по запрещённой области:
$$T\sim \exp (-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx).$$ - Ширина $a$: при заданной $\kappa$ зависимость экспоненциальная, для прямоугольного барьера в приближении «толстого барьера»
$$T\propto e^{-2\kappa a},$$ значит увеличение $a$ резко уменьшает $T$.
- Высота $V_0$ (или разница $V_0-E$): входит в $\kappa$ как $\sqrt{V_0-E}$. Увеличение $V_0$ (при фиксированном $E$) увеличивает $\kappa$ и уменьшает $T$ экспоненциально.
- Масса $m$: $\kappa \propto \sqrt{m}$ ⇒ $T$ уменьшается при увеличении массы экспоненциально (в полупроводниках важно эффективная масса).
Точное решение для прямоугольного барьера (однослойный барьер высоты $V_0$ и ширины $a$, энергия частицы $E$)
- Для $E<V_0$ (туннелирование):
$$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash },T={\left(1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right)}^{-1}.$$ В пределе $\kappa a\gg 1$ даёт $T\approx$ (предэкспоненциальный множитель)$\times e^{-2\kappa a}$.
- Для $E>V_0$ (надбарьерное прохождение с интерференцией):
$$k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash },T={\left(1+\frac{V_0^2{\sin }^2(k_{2}a)}{4E(E-V_0)}\right)}^{-1},$$ что даёт резонансы (околонулевых значений знаменателя) при $\sin (k_{2}a)=0$.
Когда какие приближения уместны
- WKB (полуклассическое) приближение:
$$T\approx \exp (-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx).$$ Уместно если $\kappa (x)$ медленно меняется на длине волны (условие малости параметра: $\hslash |d\kappa /dx|\ll {\kappa }^2$) и особенно если интеграл большой ($\int \kappa dx\gg 1$). Даёт хороший порядок величины и экспоненциальную зависимость, но плохо работает около точек сопряжения (поворотных точек) без использования формул соединения (Airy).
- Точное аналитическое решение (например, прямоугольный барьер) уместно когда потенциал прост и кусочно-постоянен — даёт и предэкспоненциальные факторы, и интерференционные эффекты (резонансы).
- При тонких или малых по высоте барьерах, при малых $\kappa a$ или при близости энергии к вершине барьера ($E\approx V_0$) WKB даёт плохую точность — нужны точные решения или численные методы (transfer-matrix, численное интегрирование Шрёдингера). Вблизи поворотной точки удобны приближения через функции Эйри.
- Для многобарьерных структур (двойной барьер, суперрешётки) — используют матрицы передачи и учёт когерентной интерференции; там возможны резонантные пики с $T\to 1$.
Практические устройства и явления, использующие туннелирование
- Скани́рующий туннельный микроскоп (STM) — измерение тока туннелирования между зондом и образцом.
- Диоды туннелирования (Esaki diode) и резонансно-туннельные диоды (RTD) — быстрые нелинейные элементы и генераторы НГЧ.
- Туннельный транзистор (TFET) — логический элемент с низким потреблением (туннелирование через барьер между зонами).
- Память Flash / плавающий затвор — программирование/стирание через туннелирование через тонкий окисный слой.
- Джозефсоновы переходы и сверхпроводящие квантовые биты — куплеры через туннель для пар электронов (Куперовских пар).
- Полевая эмиссия и туннелирование Фаулера–Нортона (Fowler–Nordheim) — эмиссия электронов с поверхности в сильном поле.
- Ядерный α-распад — классический пример туннелирования в ядерной физике.
- Тонкоплёночные туннельные переходы в спинтронике и фотонные устройства.
Короткие практические правила
- Увеличение ширины/высоты/массы → экспоненциальное уменьшение T.
- Для оценки порядка величины — WKB; для точных предсказаний при тонких барьерах/резонансах — точные/численные методы.
- В полупроводниках используйте эффективную массу $m^{\ast }$ вместо массы электрона.
Если нужно, могу привести вывод формул для конкретного потенциала или оценить T численно по заданным $V_0,a,m,E$.