Краткий анализ по пунктам (с нужными формулами).
1) Модель и взаимная индукция
- Для двух сильно/слабо связанных соленоидов в частотной области удобно использовать матрицу импедансов:
$$\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_1+j\omega L_1& j\omega M(\omega )\\ j\omega M(\omega )& R_2+j\omega L_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right).$$ - Индуктивное напряжение, наведённое 1-м соленоидом во 2-м: $V_{2,\text{ind}}=j\omega M(\omega )I_1(\omega )$.\) Здесь $M(\omega )$ может быть комплексной и частотнозависимой из‑за рассеяния и вихревых токов.
2) Передача мощности и фазовые сдвиги
- Средняя активная мощность, переданная от контура 1 в 2 (для общей частоты $\omega$, с фазами ${\theta }_1,{\theta }_2$ у токов):
$$P_{1\to 2}=\frac{1}{2}\Re \{I_2^{\ast }j\omega M{I}_1\}=\frac{\omega |M|}{2}|I_1||I_2|\sin ({\theta }_1-{\theta }_2+{\varphi }_M),$$ где ${\varphi }_M$ — аргумент комплексного $M$. Следствие: реальная передача мощности зависит от частоты, величины $M$ и относительной фазы токов. Для идеального чистого $M$ (реальное, ${\varphi }_M=0$) мощность пропорциональна $\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)$.
- Если контуры возбуждаются на разных частотах ${\omega }_1\ne {\omega }_2$ и линейны, то в стационаре индуцированные напряжения в одном контуре имеют частоту источника другого; однако для устойчивой передающей мощности необходима согласованность частот (резонанс) или наличие нелинейности (смешение частот). То есть при строго линейных элементах нет постоянного чистого переноса мощности между несинхронными монохромными сигналами — только наложение гармоник.
3) Скин‑эффект и проксимити (влияние на $L,R,M$)
- Скин‑глубина:
$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}.$$ - При $\delta \ll$ радиус проводника эффективное сопротивление растёт примерно как $R_{ac}\propto 1/\delta$ (т. е. $\propto \sqrt{\omega }$), что снижает добротность $Q=\omega L/R_{ac}$ и увеличивает потери. Проксимити‑эффект (взаимное перераспределение токов в витках при близком расположении) дополнительно увеличивает потери и может изменять эффективную индуктивность витков и тем самым $M$.
- Если присутствует проводящий или ферромагнитный сердечник, вихревые токи в нём делают $L$ и $M$ комплексными и сильно частотозависимыми; это приводит к уменьшению модуля $M$ и введению фазового сдвига ${\varphi }_M$.
4) Резонансные явления для связанных контуров
- Если оба контура имеют ёмкости $C_1,C_2$, собственные резонансы без связи: ${\omega }_{0i}=1/\sqrt{L_i{C}_i}$. Для связанных одинаковых контуров с $M$ наблюдается расщепление мод: частоты нормальных мод примерно
$${\omega }_{\pm }=\frac{1}{\sqrt{C(L\pm M)}}={\omega }_0\frac{1}{\sqrt{1\pm k}},$$ где $k=M/L$. При сильной связи резонансная пиковая передача разделяется на две линии (режимы «синфазный/противофазный»). Потери (увеличенные $R_{ac}$) расширяют линии и уменьшают пиковую энергоёмкость передачи.
- Для эффективной передачи энергии между контурами нужно согласование по частоте (резонанс) и достаточная добротность. Скин‑эффект и вихревые токи снижают $Q$ и уменьшают способность к узкополосной резонансной передаче.
5) Высокочастотные и радиативные эффекты
- Если размеры соленоидов и расстояние сравнимы с длиной волны (высокая частота), появляется запаздывание и радиация: комплексное $M$ дополнительно включает фактор $e^{-jkr}$ и частотную зависимость от распределения поля; классическая индуктивная модель может потребовать поправок (распределённая модель, S‑параметры).
- В ближнем поле (обычно при малых r по сравнению с $\lambda$) индуктивная модель остаётся применима.
6) Практические рекомендации для анализа/моделирования
- Использовать матрицу импедансов с частотнозависимыми $L_i(\omega ),R_i(\omega ),M(\omega )$ (включая комплексную часть для потерь).
- Учесть skin/proximity: рассчитать $\delta$ и скорректировать $R_{ac}$ и распределение тока; для плотных намоток – пользоваться численным FEM или эмпирическими корректировками.
- Для изучения резонансов собрать полные LC‑контуры и найти собственные частоты решением дет(З)=0 для импедансной матрицы.
- Если возбуждения на разных частотах и интересует суммарная энергетика — применять супепозицию линейных ответов; для передачи мощности требуются совпадающие частоты или нелинейные элементы для перемешивания.
Краткий вывод: взаимная индукция вблизи определяется геометрией и коэффициентом связи $k$, но при возрастании частоты skin‑и proximity‑эффекты и вихревые токи делают $R$ и $M$ частотозависимыми и комплексными, снижают добротность и изменяют фазу индуцированных напряжений; для резонансной передачи требуется совпадение частот (или нелинейное смешение), при сильной связи наблюдается расщепление резонансов.