Коротко — какие факторы и почему, затем план эксперимента для разделения вкладов и список основных погрешностей.
1) Физические причины (кратко)
- Момент инерции: для чистого качения без проскальзывания ускорение зависит только от отношения $I/(m{r}^2)$:
$$a=\frac{g\sin \alpha }{1+I/(m{r}^2)}.$$ Для твёрдого шара $I=\frac{2}{5}m{r}^2\Rightarrow a=\frac{5}{7}g\sin \alpha$, для тонкостенной оболочки $I=\frac{2}{3}m{r}^2\Rightarrow a=\frac{3}{5}g\sin \alpha$. Разница $\frac{5/7}{3/5}=\frac{25}{21}\approx 1,19$ — тонкостенная сфера теоретически ~19% медленнее при идеальном качении.
- Деформация / роллинговое сопротивление (hysteresis): упругие потери в материале и на контактном пятне создают дополнительный момент $M_r$ (или эквивалентную тангенциальную силу). Это снижает ускорение и сильнее действует на более мягкие/комплайантные материалы (тонкое стекло/подложка).
- Трение качения / сцепление: чтобы было чистое качение, требуется достаточный статический коэффициент трения. При частичном проскальзывании кинетические потери замедляют шар сильнее.
- Аэродинамика: сопротивление воздуха $F_{drag}=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$ (или при малых Re — линейный закон). Для лёгкой пустой стеклянной оболочки аэродинамика влияет сильнее, т.к. тормозящее усилие не уменьшается при малой массе.
2) Простейшая модель с учётом основных потерь
Для поступательного ускорения с учётом аэродинамики и дополнительного тормозного момента $M_r$:
$$a=\frac{g\sin \alpha -\frac{1}{2m}\rho C_{d}A{v}^2-\frac{M_r}{mr}}{1+I/(m{r}^2)}.$$ Условие отсутствия проскальзывания:
$$F_f=\frac{I/(m{r}^2)}{1+I/(m{r}^2)}mg\sin \alpha \le {\mu }_{s}mg\cos \alpha \Rightarrow {\mu }_s\ge \frac{I/(m{r}^2)}{1+I/(m{r}^2)}\tan \alpha .$$
3) Эксперимент — порядок действий для количественного разделения вкладов
- Подготовка:
- Использовать одинаковый радиус $r$ для обоих шаров и жёсткую ровную направляющую платы (чтобы минимизировать вариации поверхности).
- Измерить массу $m$ и геометрию; оценить/измерить $I$ (по формуле по геометрии или экспериментально через крутильный маятник).
- Основные измерения:
- Снимать движение высокоскоростной камерой, отслеживать центр и угловую скорость $\omega (t)$ (метка на шаре) → вычислять $v(t)$ и отношение $v/(r\omega )$ для обнаружения проскальзывания.
- Измерять время пробега $t$ для набора углов $\alpha$ и многократно повторять.
- Выделение вкладов:
1. Проверка чистого качения: если $v/(r\omega )\approx 1$ — проскальзывание мало; можно использовать модель с $I$ и дополнительными диссипативными силами.
2. Изолировать вклад момента инерции: сравнить шарики с одинаковой массо‑геометрией, но разным распределением массы (например, солидный шар и равного веса полый шар). Если аэродинамика и деформация минимальны (жёсткая дорожка, невысокие скорости), разница скоростей ≈ расчётной из $I/(m{r}^2)$.
3. Оценить аэродинамику: провести серии в нормальной атмосфере и в вакуумной камере (или при пониженной плотности воздуха). Разность даёт вклад $C_d$. Или варьировать длину/угол так, чтобы скорости были сильно различны и подогнать терминологию к уравнению с $v^2$ — подгонка параметра $C_d$ по профилю $v(t)$.
4. Оценить роллинговое сопротивление: использовать очень жёсткую дорожку (минимум деформации) и «мягкую» дорожку; разница в ускорениях при прочих равных даёт вклад $M_r$ или коэффициента $C_{rr}$. Можно измерить контактное пятно (оптически или давлением) и/или использовать датчик момента на оси (если шар ведётся по валу) для прямого измерения $M_r$.
5. Проскальзывание: при высоких углах/низком ${\mu }_s$ измерять $\omega$ и $v$ — явное проскальзывание видно по $v>r\omega$ (или наоборот). В этом режиме добавить кинетическое трение в модель.
- Анализ данных:
- Измерить $v(t)$ из видео; численно подогнать дифференциальную модель
$$m\dot{v}=mg\sin \alpha -\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2-\frac{M_r}{r}-\text{(в случае проскальзывания)}{F}_k$$ с учётом множителя $1+I/(m{r}^2)$ в эффективной инерции. Подгонкой по всем наборам углов извлечь $C_d$ и $M_r$ (или $C_{rr}$).
- Сначала фиксируйте/измеряйте $I$ и ${\mu }_s$ отдельно, чтобы уменьшить число свободных параметров.
4) Какие погрешности надо учесть и как их уменьшить
- Измерение угла $\alpha$: привести к минимальной систематике (лазерный уровень, цифровой нивелир).
- Начальное условие: старт без импульса — централизованный держатель с электромагнитным отпуском.
- Деление трения поверхности: неоднородности дорожки — полировать/замерить профиль.
- Погрешность в $r,m,I$: измерять с калибровкой; $I$ лучше проверять экспериментально.
- Камера/тайминг: частота и разрешение, параллакс; калибровка расстояния по эталонному масштабу.
- Внешние потоки воздуха, температура/плотность воздуха (влияет на $C_d$).
- Статистические: повторять много запусков, оценивать стандартное отклонение.
- Модельные допущения: постоянство $C_d$ и $M_r$ в зависимости от $v$; при больших скоростях/амплитудах эти параметры могут меняться.
5) Практическое упрощение и порядок приоритета
- Сначала проверить чистое качение (видео и $\omega$ vs $v$). Если соблюдается — основной вклад даст $I/(m{r}^2)$ и роллинговое сопротивление; аэродинамика вторична для короткой низкой рампы.
- Для количественной разборки: 1) измерить/зафиксировать $I$ и ${\mu }_s$; 2) провести вакуум/атмосфера для отделения $C_d$; 3) менять жёсткость дорожки, чтобы оценить $M_r$.
Итог: более быстрая стальная сфера, скорее всего, объясняется сочетанием меньшего относительного момента инерции (твердый шар против тонкой оболочки), меньших потерь на деформацию (жёсткость стали vs стекла и контакт с дорожкой) и меньшего влияния аэродинамики из‑за большей массы; чтобы разделить вклады количественно — измеряйте $v(t)$ и $\omega (t)$, сравните в вакууме/атмосфере и на жёсткой/мягкой дорожке и подгоняйте модель с параметрами $C_d$ и $M_r$.