Коротко — идея и формулы.
Почему возникает прецессия
- Вращающийся гироскоп имеет угловой момент $\mathbf{L}$ вдоль оси вращения. Поперечный момент сил (торк) $\mathbf{\tau }$ изменяет $\mathbf{L}$ по закону $\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\tau }$. Поскольку $\mathbf{\tau }$ перпендикулярен оси, изменение $\mathbf{L}$ — это малое приращение, вращающее вектор $\mathbf{L}$ вокруг направления торка; следовательно ось гироскопа медленно «обходит» — прецессирует.
- Для постоянного перпендикулярного торка стационарная скорость прецессии ${\mathbf{\Omega }}_p$ связана с $\mathbf{L}$ как
$$\mathbf{\tau }=\frac{d\mathbf{L}}{dt}={\mathbf{\Omega }}_p\times \mathbf{L},$$ для перпендикулярных направлений по модулям
$$\tau ={\Omega }_{p}L.$$ Если гироскоп — осесимметричный твёрдый диск/маховик с частотой вращения ${\omega }_s$ и моментом инерции вокруг оси $I$, то $L=I{\omega }_s$ и
$$\boxed{{\Omega }_p=\frac{\tau }{I{\omega }_s}}$$
Частный случай: гравитационный момент
- Если торк создаётся весом $m$ на плече $d$ (центр масс на расстоянии $d$ от опоры), то $\tau =mgd$ и
$${\Omega }_p=\frac{mgd}{I{\omega }_s}.$$ Для однородного тонкого диска радиуса $R$ $I=\frac{1}{2}m{R}^2$, тогда
$$\boxed{{\Omega }_p=\frac{2mgd}{m{R}^2{\omega }_s}=\frac{2gd}{R^2{\omega }_s}}$$
Нутрация (колебания)
- При резком приложении поперечного торка вектор $\mathbf{L}$ скачком меняется на $\Delta \mathbf{L}=\mathbf{\tau }\Delta t$. Получившаяся новая ориентация и кинетическая энергия обычно не соответствуют стационарной прецессии, поэтому ось начинает колебаться — это и есть нутрация: затухающие свободные колебания оси вокруг установившегося направления прецессии.
- Для осесимметричного тела с главными моментами $I_1=I_2$ и $I_3$ частота малых нутрационных колебаний порядка
$${\omega }_{nut}\sim {\omega }_s\sqrt{\frac{I_3-I_1}{I_1}}.$$ Для однородного диска $I_3=\frac{1}{2}m{R}^2,I_1=\frac{1}{4}m{R}^2$ даёт ${\omega }_{nut}\approx {\omega }_s$ (то есть частота нутрации порядка частоты собственного вращения). Наличие трения/вязкости приводит к затуханию нутрации и переходу к устойчивой прецессии со скоростью ${\Omega }_p$ выше.
Оценка (пример)
- Пусть $m=1\mathrm{kg},R=0.10\mathrm{m},d=0.05\mathrm{m},f=20\mathrm{Hz}$ (тогда ${\omega }_s=2\pi f\approx 125.66{\mathrm{s}}^{-1}$). Для диска $I=\frac{1}{2}m{R}^2=0.005\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$. Торк $\tau =mgd\approx 1\cdot 9.81\cdot 0.05=0.4905\mathrm{N}\mathrm{m}$. Тогда
$${\Omega }_p=\frac{\tau }{I{\omega }_s}\approx \frac{0.4905}{0.005\cdot 125.66}\approx 0.78{\mathrm{s}}^{-1}(\approx 7.4\text{об/мин}).$$ - Нутрационная частота для этого диска приблизительно ${\omega }_{nut}\sim {\omega }_s\approx 125.7{\mathrm{s}}^{-1}$ (быстрая колебательная компонента, которая затухает).
Если надо — подставлю ваши конкретные m, R, d и f и вычислю численно.