Коротко — какие силы/моменты и как они задают установившуюся угловую скорость, и как изменится профиль поверхности.
1) Баланс моментов (установившийся режим)
- Установившаяся угловая скорость $\Omega$ задаётся балансом приводящего момента $M_{\mathrm{drv}}$ и суммарного тормозящего момента:
$$M_{\mathrm{drv}}=M_{\mathrm{visc}}+M_{\mathrm{air}}+M_{\mathrm{wave}}+M_{\mathrm{cap}},$$ где $M_{\mathrm{visc}}$ — вязкий момент от жидкости, $M_{\mathrm{air}}$ — аэродинамическое сопротивление, $M_{\mathrm{wave}}$ — момент, потерянный на генерацию волн, $M_{\mathrm{cap}}$ — моменты от сил поверхностного натяжения/контактной линии. Если привода нет, угловая скорость спадает по уравнению
\[
I\dot\Omega = -M_{\rm visc}-M_{\rm air}-M_{\rm wave}-M_{\rmcap},
\]
где $I$ — момент инерции пластинки.
2) Вязкий момент — ключевой для "медленно" вращающейся пластины
- В зависимости от режима течения существуют разные масштабы:
- малый Re ($\mathrm{Re}=\Omega R^2/\nu \ll 1$, стоксовский режим): момент пропорционален $\mu \Omega$ и одному характерному объёму жидкости; грубо $M_{\mathrm{visc}}\sim \mu \Omega R^3$ (порядковая оценка для характерного размера $R$).
- погранично-инертный (граничный слой на вращающемся теле): толщина граничного слоя $\delta \sim \sqrt{\nu /\Omega }$, тогда
$$M_{\mathrm{visc}}\sim \frac{\mu \Omega R^4}{\delta }\sim \mu {\Omega }^{3/2}{R}^4{\nu }^{-1/2}.$$ - Практически нужно оценивать $\mathrm{Re}$ и подставлять соответствующую формулу.
3) Волновые и гравитационные эффекты
- Если линейная скорость на краю $U=\Omega R$ достаточна для возбуждения волн, появляется волновое сопротивление. Критерий по Фруду степени радиуса:
$$\mathrm{Fr}=\frac{U}{\sqrt{gR}}=\frac{\Omega R}{\sqrt{gR}}.$$ При $\mathrm{Fr}\sim 1$ вклад $M_{\mathrm{wave}}$ существенен и диссипация растёт быстро.
4) Поверхностное натяжение и капиллярные масштабы
- Для малых пластинок важна капиллярная длина
$$l_c=\sqrt{\frac{\gamma }{\rho g}}.$$ Если размер пластины $\lesssim l_c$, деформация поверхности управляется главным образом капиллярными силами и момент $M_{\mathrm{cap}}$ (сдвиг и изменение мениска) может быть значим.
5) Профиль поверхности жидкости
- Если жидкость в окрестности пластины вращается как твёрдое тело с угловой скоростью $\Omega$, свободная поверхность принимает параболическую форму (гравитационно-вязкая равновесная форма):
$$h(r)=h(0)+\frac{{\Omega }^2{r}^2}{2g},$$ при условии, что вязкость обеспечивает со-вращение на масштабе $r$. На практике:
- при полной ко-ротации будет подъём жидкости у краёв и относительная «впадина» в центре (пароболоид вверх).
- если вязкая связь слабая (малое $M_{\mathrm{visc}}$), профиль будет сглаженным — деформация меньше указанной параболы; effective $\Omega$ в формуле заменить локальной угловой скоростью жидкости.
- для малых размеров или сильного поверхностного натяжения профиль ограничен капиллярным радиусом и мениском у краёв.
6) Последствия для плавающей пластины
- Изменение погружения по радиусу: из-за перераспределения давления/высоты поверхности изменится локальная архимедова поддержка — возможна перераспределение ванты/центра плавучести и изменение момента трения.
- Если профиль асимметричен (несовпадение центров давления и массы), появляется дополнительный гидростатический момент, влияющий на равновесную ориентацию/скорость.
- При достаточной скорости может начаться образование волн и переход в другой режим торможения.
Короткая инструкция для оценки в задаче: определить характерный размер $R$, вязкость $\nu$ и плотность $\rho$, вычислить $\mathrm{Re}=\Omega R^2/\nu$ и $\mathrm{Fr}=\Omega R/\sqrt{gR}$, затем подобрать соответствующую формулу для $M_{\mathrm{visc}}$ (стоксовская или погранично-слойная) и записать баланс моментов для $\Omega$; профиль поверхности в первом приближении — парабола $h(r)=h(0)+{\Omega }^2{r}^2/(2g)$ при со-вращении жидкости, с поправками капиллярности и слабой вязкой связности.