Коротко: прецессия маятника Фуко появляется потому, что плоскость колебаний стремится оставаться фиксированной в инерциальной системе, а наблюдатель, закреплённый на Земле, вращается. Горизонтальная проекция угловой скорости Земли $\Omega$ даёт эффект Кориолиса, и скорость видимой прецессии на широте $\varphi$ равна по модулю $\Omega \sin \varphi$.
Условия и ограничения:
- Маятник должен свободно вращаться в плоскости (минимально направляющий шарнир), малая амплитуда (линейная аппроксимация), слабое затухание;
- Наблюдаемая скорость прецессии определяется вращением Земли относительно инерциальной системы (т.е. сидерический сутки);
- Допущения: локальная плоскость в горизонтальном приближении, вертикальная компонента силы тяжести доминирует (горизонтальная компонента $\Omega \cos \varphi$ даёт лишь малые поправки).
Краткий количественный вывод (эскиз). В локальной системе координат с осями $x,y$ в горизонтальной плоскости уравнения малых колебаний с учётом силы Кориолиса (вертикальная составляющая ${\Omega }_v=\Omega \sin \varphi$) дают:
$$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x-2\Omega \sin \varphi \dot{y}=0,\ddot{y}+{\omega }_0^{2}y+2\Omega \sin \varphi \dot{x}=0.$$ Объединяя через $\xi =x+iy$, получаем
$$\ddot{\xi }+{\omega }_0^2\xi -2i\Omega \sin \varphi \dot{\xi }=0.$$ Из этого (в приближении $\Omega \ll {\omega }_0$) следует, что плоскость колебаний поворачивается относительно Земли с угловой скоростью
$${\Omega }_p=\Omega \sin \varphi$$ (по модулю). Временной интервал для полного оборота плоскости относительно Земли:
$$T_p=\frac{2\pi }{\Omega \sin \varphi }=\frac{T_{\mathrm{sidereal}}}{\sin \varphi }.$$
Численное значение угловой скорости Земли:
$$\Omega =\frac{2\pi }{T_{\mathrm{sidereal}}}\approx 7.2921\times 10^{-5}rad/s.$$
Граничные случаи и направление:
- На экваторе ($\varphi =0$) ${\Omega }_p=0$ — прецессии нет.
- На полюсе ($|\varphi |=90^{\circ }$) ${\Omega }_p=\Omega$ — плоскость остаётся фиксированной в инерциальной системе, а относительно Земли совершает полный оборот за сидерические сутки.
- Направление: в Северном полушарии видимая прецессия идёт в противоположную сторону относительно вращения Земли (при взгляде сверху на Северный полюс — по часовой стрелке), в Южном — наоборот.