Кратко: нужно измерить спектр отражения (или пропускания) $R(\lambda ,x,y)$ (гиперспектральная съёмка), затем решить обратную задачу на основе волновой модели тонкой плёнки (Fresnel + многолучевая интерференция). Ниже — необходимые формулы, алгоритмы и практические замечания.
1) Основные уравнения (нормальное падение)
- Амплитудный коэффициент отражения для однослойной плёнки (воздух $n_0$, плёнка $n_1$, подложка $n_2$):
$$r(\lambda )=\frac{r_{01}+r_{12}{e}^{2i\beta (\lambda )}}{1+r_{01}{r}_{12}{e}^{2i\beta (\lambda )}},r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j},\beta (\lambda )=\frac{2\pi n_1(\lambda )d}{\lambda }.$$ Интенсивность:
$$R(\lambda )=|r(\lambda ){|}^2.$$ - Условия максимумов/минумов (приблизительно, в терминах оптической толщины):
если между отражениями добавляется фазовый сдвиг $\pi$ ровно один раз, конструктивный максимум при
$$2n_{1}d=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda ,$$ если сдвигов 0 или 2 (и т.п.) — при
$$2n_{1}d=m\lambda ,$$ где $m\in \mathbb{Z}$.
2) Прямой способ извлечения толщины при известном $n_1(\lambda )$ - Найдите локальные максимум(ы) спектра в точке: ${\lambda }_m,{\lambda }_{m+1},...$.
- Для двух соседних максимумов (разность порядка = 1) из уравнений $2n({\lambda }_m)d=p_m{\lambda }_m$ и $2n({\lambda }_{m+1})d=p_{m+1}{\lambda }_{m+1}$ получаем
$$2d\left(\frac{n({\lambda }_m)}{{\lambda }_m}-\frac{n({\lambda }_{m+1})}{{\lambda }_{m+1}}\right)=p_m-p_{m+1}=\pm 1,$$ откуда
d=121∣n(λm)λm−n(λm+1)λm+1∣. d=\frac{1}{2}\frac{1}{\left|\dfrac{n(\lambda_m)}{\lambda_m}-\dfrac{n(\lambda_{m+1})}{\lambda_{m+1}}\right|}.
d=21 λm n(λm ) −λm+1 n(λm+1 ) 1 . (Если пики несмещены на единицу порядка — использовать соответствующую разность порядков.)
3) Обратная задача, когда $n_1(\lambda )$ неизвестно
- Ввести параметрическую модель дисперсии, например Cauchy или Sellmeier:
$$n_1(\lambda )=A+\frac{B}{{\lambda }^2}+\frac{C}{{\lambda }^4},\text{или более сложная модель (включая}k(\lambda )\text{при поглощении)}.$$ - Сформулировать невязку для каждой точки (пикселя) или для всей карты:
$$\underset{d(x,y),\{A,B,\dots \}}{\min }\sum _{x,y}\sum _{\lambda }[R_{\text{meas}}(\lambda ,x,y)-R_{\text{model}}(\lambda ;d(x,y),n_1(\lambda ;A,B,\dots )){]}^2+\text{рег.}$$ - Решать нелинейную задачу методом наименьших квадратов (Levenberg–Marquardt) или байесовским выводом. Регуляризация по гладкости $d(x,y)$ помогает разрешить неоднозначности порядка.
4) Как снять неоднозначность порядка (m)
- Использовать непрерывность профиля: соседние пиксели обычно различаются на малое число порядков -> фазовая развёртка (unwrap) по толщине.
- Измерения при нескольких углах падения или поляризациях дают независимые уравнения для тех же $d$ и $n$.
- Дополнительно измерить спектр пропускания $T(\lambda )$ или использовать эллипсометрию — тогда $n(\lambda )$ и $d$ определимы однозначно.
5) Практические замечания и ограничения
- При значительной поглощаемости учитывайте комплексный показатель $\tilde{n}=n+ik$.
- При большом числе порядков в видимой области цвета быстро меняются и возможны многозначности — нужны дополнительные данные или априорные предположения.
- Освещение и угол коллекции (NA объектива) усредняют угловой спектр; модель должна учитывать угловое распределение.
- Шум спектра и пересекающиеся пики уменьшают точность: предварительная фильтрация и хорошая калибровка спектрометра обязательны.
6) Резюме алгоритма (порядок действий)
- Сделать гиперспектральную карту отражения $R(\lambda ,x,y)$ (или одновременно R и T).
- При известной дисперсии $n(\lambda )$: извлечь пики ${\lambda }_m$ и по формулам выше вычислить $d(x,y)$ с развёрткой порядков.
- При неизвестной $n(\lambda )$: предположить параметрическую форму $n(\lambda ;\theta )$, решить совместную подгонку по всем точкам для $d(x,y)$ и $\theta$ с регуляризацией.
- При необходимости дополнить измерениями под разными углами/поляризациями или воспользоваться эллипсометрией.
Если нужно, могу расписать конкретную реализацию (по шагам, с кодом/псевдокодом) для ваших данных: какие данные у вас есть (R или T, спектральный диапазон, разрешение, известна ли подложка и её $n$)?