Модель (1D вдоль оси $x$, длина стержня $L$, однородный металл, теплопроводность и конвекция по бокам/на конце).
Уравнение теплопроводности:
$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}-\frac{hP}{A}(T-T_{\infty }),$$ где $k$ — теплопроводность, $\rho$ — плотность, $c$ — теплоёмкость, $h$ — коэффициент конвекции (по боковой поверхности и/или концам), $P$ — периметр поперечного сечения, $A$ — площадь поперечного сечения, $T_{\infty }$ — температура окружающей среды. (Если боковые потери малы, можно опустить последний член и учитывать конвекцию только в граничных условиях.)
Начальное условие:
$$T(x,0)=T_i(x).$$
Граничные условия (пример часто встречающегося нагрева одного конца):
- в точке нагрева $x=0$ задана температура или поток, например Дирихле
T(0,t)=T0(t)или−k∂T∂x∣x=0=q(t); T(0,t)=T_0(t)\quad\text{или}\quad -k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=0}=q(t);
T(0,t)=T0 (t)или−k∂x∂T x=0 =q(t); - на свободном конце $x=L$ — условие Роби́на (конвекция)
−k∂T∂x∣x=L=h(T(L,t)−T∞). -k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=L}=h\big(T(L,t)-T_\infty\big).
−k∂x∂T x=L =h(T(L,t)−T∞ ).
Установившееся (стационарное) решение при фиксированной $T(0)=T_0$ и конвекции на $x=L$ (без объёмных боковых потерь) — линейная температура:
$$T_s(x)=T_0+Bx,B=\frac{h(T_{\infty }-T_0)}{k+hL},$$ и температура на конце
$$T_s(L)=\frac{k{T}_0+hL{T}_{\infty }}{k+hL}.$$
Оценка времени установления градиента (траектория к стационарному решению).
Опишем отклонение $\theta (x,t)=T(x,t)-T_s(x)$. Для случая $T(0,t)=T_0$ (Дирихле в нуле) и Роби́на в $L$ решение раскладывается по модам:
$$\theta (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\sin ({\lambda }_{n}x)e^{-\alpha {\lambda }_n^{2}t},$$ где $\alpha =\frac{k}{\rho c}$ — температурная диффузивность, и собственные числа ${\lambda }_n$ определяются условием
$$\tan ({\lambda }_{n}L)=-\frac{{\lambda }_{n}k}{h}.$$ Доминирует первый мод ${\lambda }_1$ (наименьшее положительное решение). Характерное время затухания первого модa
$$\tau =\frac{1}{\alpha {\lambda }_1^2}.$$ Для заданной допустимой относительной ошибке $\epsilon$ (насколько близок градиент к стационарному) можно взять
$$t\approx \tau \ln \frac{1}{\epsilon }=\frac{1}{\alpha {\lambda }_1^2}\ln \frac{1}{\epsilon }.$$ Часто для оценки берут $\epsilon =0.05$ (95\% установление), тогда множитель $\ln (1/0.05)\approx 3.0$.
Предельные случаи для приближений:
- сильная конвекция на конце ($hL\gg k$) → примерно Дирихле на $x=L$: ${\lambda }_1\approx \pi /L$;
- слабая конвекция ($hL\ll k$) → приближённо нейтрально-изолированный конец: ${\lambda }_1\approx \pi /(2L)$.
Соответственно характерное время порядка
$$\tau \sim \frac{L^2}{\alpha {\pi }^2}\text{(для}hL\gg k),\tau \sim \frac{4L^2}{\alpha {\pi }^2}\text{(для}hL\ll k).$$
Пример для меди: $k\approx 400W/(\mathrm{mK}),\rho \approx 8960kg/{\mathrm{m}}^3,c\approx 385J/(\mathrm{kgK})$ даёт
$$\alpha =\frac{k}{\rho c}\approx 1.2\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2/s,$$ и для стержня длиной $L$ характерное время порядка $\tau \sim L^2/\alpha$ (с поправочным числовым множителем, см. выше).
Практическая инструкция:
1. Выберите модель граничных условий (заданная температура или поток в $x=0$; Роби́н в $x=L$; учёт боковых потерь через $\frac{hP}{A}$ в уравнении при необходимости).
2. Посчитайте $\alpha$ и параметр $hL/k$.
3. Решите уравнение для ${\lambda }_1$: $\tan ({\lambda }_{1}L)=-{\lambda }_{1}k/h$ (численно).
4. Оцените время по формуле $t\approx \frac{1}{\alpha {\lambda }_1^2}\ln (1/\epsilon )$ для требуемой точности $\epsilon$.
5. При необходимости — численное решение PDE (метод конечных разностей/конечных элементов) для точной картины распределения и времени установления.
Если нужно, могу дать явные выражения для коэффициентов разложения или решить численно пример при конкретных числах $L,h,T_0,T_{\infty },T_i$.