Коротко — предположим, что на металлический цилиндр мгновенно включают однородное осевое магнитное поле $B_z(t)$. Механизмы и последствия:
1) Механизм возникновения вихревых токов
- Закон Фарадея (интегральная форма): ${\oint }_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$. Для кольцевого контура радиуса $r$ вокруг оси получается азимутальная электрическая напряжённость
$E_{\phi }(r,t)=-\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi (r,t)}{dt}$,
где $\Phi (r,t)$ — магнитный поток через окружность радиуса $r$.
- Омический закон: $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$. Значит быстрое нарастание $B_z$ индуцирует циркулирующие (азимутальные) токи ${\mathbf{J}}_{\phi }(r,t)$ — «вихревые» (эдди) токи, направленные по Ленцу так, чтобы противодействовать изменению потока.
- Распределение по сечению определяется магнитной диффузией (не мгновенно проникает в объём). Магнитная диффузионная эволюция описывается уравнением
$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}={\eta }_m{\nabla }^2\mathbf{B},{\eta }_m=\frac{1}{\mu \sigma }$,
поэтому характерный проникающий масштаб при времени нарастания $t_r$ примерно
$l_d\sim \sqrt{{\eta }_m{t}_r}.$ Для периодических полей вводят скин-глубину
$\delta \approx \sqrt{\frac{2\rho }{\mu \omega }}=\sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega }}$,
где $\rho =1/\sigma$ — удельное сопротивление, $\omega \sim 1/t_r$.
2) Нагрев (джоулево рассеяние)
- Плотность тепловой мощности: $q(\mathbf{r},t)=\frac{J^2(\mathbf{r},t)}{\sigma }$.
- Полная энергия, выделившаяся в объёме $V$: $W={\int }_0^{\infty }{\int }_V\frac{J^2}{\sigma }dVdt$. Она равна работе источника поля, потраченной на нагрев (в идеале).
- Оценка прироста температуры (приближённо): $\Delta T\approx \frac{W}{{\rho }_m{c}_{p}V}$, где ${\rho }_m$ — плотность материала, $c_p$ — теплоёмкость.
- Следствия: при малом $t_r$ токи концентрируются у поверхности (малый $l_d$), локальный нагрев поверхностного слоя может быть значительным; при повторных импульсах — накопление тепла, локальная перегрузка, термическое растрескивание.
3) Механические воздействия
- Лоренцова (объёмная) сила на единицу объёма: $\mathbf{f}=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$. Для осевого поля $B_z$ и азимутального тока $J_{\phi }$ возникает радиальная сила
$f_r=J_{\phi }{B}_z$.
Эта сила вызывает разрушающие/деформирующие напряжения в цилиндре.
- Можно сопоставить с магнитным давлением (из тензора Максвелла):
$p_{\text{mag}}\sim \frac{B^2}{2\mu }.$ Для тонкостенной трубы приближённая окружная (хоуп) напряжённость от этого давления:
${\sigma }_{\theta }\approx \frac{p_{\text{mag}}r}{t}=\frac{B^2}{2\mu }\frac{r}{t},$ где $r$ — средний радиус, $t$ — толщина стенки. Это даёт оценку интенсивности механического напряжения.
- Динамические эффекты: быстрые импульсы дают волны упругой деформации (ударное нагружение), возможна усталость при циклических полях. Если материал ферромагнитен, добавляются силы изгранизационной намагниченности (магнитострикция) и неоднородное распределение $\mu$ усложняет картину и усиливает локальные силы.
- Э.д. токи создают также демпфирование движений (если цилиндр движется в переменном поле — возникает тормозной момент).
4) Практические оценки и управляющие параметры
- Чем быстрее нарастание поля (меньше $t_r$), тем сильнее токи у поверхности (меньше $l_d$ или $\delta$) и выше пик мощностей и механических усилий.
- Чем выше проводимость $\sigma$ и проницаемость $\mu$, тем больше наведённые токи и меньше магнитная диффузия (в ферромагнетиках эффекты особенно сильны, но нелинейны).
- Меры уменьшения: ламинация (разрез по толщине), увеличение удельного сопротивления (покрытие, сплавы), разрезы/щели, уменьшение скорости нарастания поля, уменьшение площади замкнутых контуров (прерывистые поверхности).
Короткий итог: при быстром включении осевого поля в металлическом цилиндре индуцируются азимутальные вихревые токи по закону Фарадея; их распределение управляется магнитной диффузией (скин-эффект), они вызывают джоулево нагревание ($q=J^2/\sigma$) и механические силы $\mathbf{f}=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ (оценочно через магнитное давление $B^2/(2\mu )$), что может привести к локальному перегреву, деформациям и усталости.