Кратко, по существу — как частота и геометрия влияют на поперечные (transverse) и продольные (longitudinal) компоненты полей в коаксиале:
- Режимы: в идеальном коаксиальном кабеле существует TEM‑мода (основная) и набор высших собственных мод (TE, TM) с пороговыми частотами.
- TEM: $E_z=H_z=0$. Поля чисто поперечны, не имеют среза по частоте (не имеют отсечки) и существуют при любой $\omega$ (если диэлектрик однороден). Распределение поперечных полей задаётся геометрией (радиусы $a$ и $b$) и диэлектрической проницаемостью.
- TE/TM: имеют ненулевые продольные компоненты ($H_z\ne 0$ для TE, $E_z\ne 0$ для TM). Каждая такая мода имеет частоту отсечки ${\omega }_c$; при $\omega <{\omega }_c$ мода затухает, при $\omega >{\omega }_c$ распространяется.
- Общее волновое соотношение и связь продоль/поперечных компонент:
- полный волновой число в среде $k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$.
- продольная постоянная волны $\beta =\sqrt{k^2-k_t^2}$, где $k_t$ — поперечное волновое число, определяемое геометрией и граничными условиями.
- условие отсечки: при $k=k_t$ получается $\beta =0$, т.е. ${\omega }_c=\frac{k_t}{\sqrt{\mu ϵ}}$.
- поперечные компоненты выражаются через продольные (стандартные соотношения волноводов):
$$E_t=-\frac{j}{k_t^2}(\beta {\nabla }_t{E}_z+\omega \mu \hat{z}\times {\nabla }_t{H}_z),H_t=-\frac{j}{k_t^2}(\beta {\nabla }_t{H}_z-\omega ϵ\hat{z}\times {\nabla }_t{E}_z).$$ Отсюда видно: чем ближе $\beta$ к нулю (приближаясь к отсечке), тем сильнее роль продольных компонент в формировании $E_t,H_t$.
- Зависимость от частоты:
- Для TEM: фазовая постоянная $\beta \approx k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$, фазовая скорость $v_p=1/\sqrt{\mu ϵ}$ (в идеальном однородном диэлектрике нечувствительна к частоте), продольных компонент нет.
- Для высших мод: при росте $\omega$ увеличивается $k$, становится возможным выполнение $k>k_t$ и мода начинает распространяться; с ростом $\omega$ $\beta (\omega )=\sqrt{{\omega }^2\mu ϵ-k_t^2}$ растёт, изменяются соотношения между продольными и поперечными полями (менее выраженные продольные компоненты при больших $\beta$).
- Распределение полей меняется: при низких частотах (только TEM) поля строго поперечны и зависят от логарифма радиусов; при высоких — появляются сложные радиально‑угловые структуры, заданные корнями уравнений собственных функций (Bessel/Neumann для цилиндрического слоя).
- Влияние геометрии:
- Характерные поперечные числа $k_t$ — функции размеров (внешний радиус $b$, внутренний $a$) и граничных условий; отсечные частоты примерно обратно пропорциональны характерному поперечному размеру (${\omega }_c\sim c/(\text{размер})$).
- Для TEM характерное сопротивление и поперечное распределение:
$$Z_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mu }{ϵ}}\ln \frac{b}{a},$$ поэтому изменение радиусов сдвигает интенсивность поперечных полей и ёмкость/индуктивность на единицу длины.
- Практические дополнительные эффекты при росте частоты:
- скин‑эффект: глубина проникновения $\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$ уменьшается, меняя распределение токов по проводам и внося потери и фазовую дисперсию;
- диэлектрическая дисперсия и потери также изменяют $ϵ(\omega )$ и, соответственно, $\beta (\omega )$ и распределение полей;
- при частотах значительно выше порога высших мод TEM может перестать быть единственным каналом передачи — поля усложняются и возникают межмодовые взаимодействия.
Вывод коротко: TEM‑поля поперечны и не имеют отсечки; высшие TE/TM‑моды имеют продольные компоненты и появляются при частотах выше ${\omega }_c=k_t/\sqrt{\mu ϵ}$, где $k_t$ определяется геометрией (корни задач с Bessel/Neumann для коаксиального сечения). Чем выше частота относительно ${\omega }_c$, тем меньше относительная роль продольных компонент (в смысле $\beta$ растёт), но в целом распределение полей усложняется; дополнительно частотозависимые эффекты проводимости и диэлектрика меняют реальные профили полей.