Ключевая идея: вероятность туннелирования вычисляется в приближении WKB, а ток при малых напряжениях получается из формулы Ландауэра и при низких температурах пропорционален этой вероятности (температурно-независимая компонента).
1) Вероятность туннелирования (WKB)
- Общая WKB-оценка для одномерного барьера:
$$T\approx \exp \left(-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx\right),\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m^{\ast }(V(x)-E)}}{\hslash },$$ где $x_{1,2}$ — классические точки доступа, $V(x)$ — профиль барьера, $E$ — энергия электрона, $m^{\ast }$ — эффективная масса.
- Для прямоугольного барьера высоты $V_0$ и ширины $a$ (при $E<V_0$):
$$T\approx \exp \left(-2a\frac{\sqrt{2m^{\ast }(V_0-E)}}{\hslash }\right).$$
2) Ток при низких температур и малом напряжении
- Формула Ландауэра для одномерной проводимости:
$$I=\frac{2e}{h}\int T(E)[f_1(E)-f_2(E)]dE,$$ где $f_{1,2}$ — распределения Ферми в контактах. При $T\to 0$ и малом смещении $eV\ll E_F$ можно линearизовать:
$$I\approx \frac{2e^2}{h}T(E_F)V.$$ Отсюда: при малых $V$ ток ведёт себя почти линейно $I\propto V$, коэффициент пропорциональности содержит экспоненциально малую вероятность $T(E_F)$.
- Для тонких изоляторов (сопоставимо с прямоугольным/клиновидным барьером) часто используют аппроксимацию
$$J\propto V\exp (-2\kappa a),$$ где $\kappa$ оценивается при энергии около $E_F$.
3) Влияние напряжения и поля
- Малое $V$: барьер слегка «наклоняется», $T$ растёт слабее; линейная зависимость остаётся до тех пор, пока изменение барьера мало.
- При больших полях появляется выравнивание/снижение высоты барьера и переход к экспоненциально сильному росту тока (филд-усиленное туннелирование, приближённо типа Фаулера–Нордхейма):
$$J\propto F^2\exp (-\frac{C{\varphi }^{3/2}}{F}),$$ где $F$ — поле, $\varphi$ — высота барьера, $C$ — константа.
4) Практические замечания для сцинтиллятора
- Определите профиль $V(x)$, высоту барьера (относительно энергии электрона), ширину $a$ (расстояние между локальными состояниями или толщина барьера) и эффективную массу $m^{\ast }$.
- Подставьте в WKB и получите $T(E)$. Для тока используйте Ландауэр или простую модель $I\sim envT$ (где $n$ — плотность носителей, $v$ — скорость подхода к барьеру).
- При низких температурах вклад термальной эмиссии мал, поэтому туннельный ток будет почти температурно-независимым и доминировать при малых $V$.
Коротко: рассчитать $T$ через WKB, затем получить $I$ через Ландауэра; при малых напряжениях $I\approx \frac{2e^2}{h}T(E_F)V$, то есть линейный ток с экспоненциально малым коэффициентом, который увеличивается при усилении поля из-за снижения/наклона барьера.