Постановка задачи (упрощённо)
- Рассмотреть кружку с чаем массы и теплоёмкости $m_{\mathrm{tea}},c_w$ и чашку (стенки) массы и теплоёмкости $m_{\mathrm{cup}},c_c$. Начальная температура чая $T_0$, окружающей среды $T_{\infty }$.
- Энергетический баланс (считая чай однородным по температуре — модель «lumped» при малом числе Био):
$$(m_{\mathrm{tea}}{c}_w+m_{\mathrm{cup}}{c}_c)\frac{dT}{dt}=-{\dot{Q}}_{\mathrm{conv}}-{\dot{Q}}_{\mathrm{rad}}-{\dot{Q}}_{\mathrm{evap}}.$$
Компоненты потерь
- Конвекция с поверхностей (боков и открытой поверхности):
$${\dot{Q}}_{\mathrm{conv}}=h_{\mathrm{conv}}{A}_{\mathrm{conv}}(T-T_{\infty }),$$ где типичные значения свободной конвекции $h_{\mathrm{conv}}\sim 5\text{–}25W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$ (привет, спокойный воздух) и больше при ветре/вентиляторе.
- Излучение:
$${\dot{Q}}_{\mathrm{rad}}=\epsilon \sigma A_{\mathrm{rad}}(T^4-T_{\infty }^4)\approx h_{\mathrm{rad}}{A}_{\mathrm{rad}}(T-T_{\infty }),h_{\mathrm{rad}}\approx 4\epsilon \sigma T_{\infty }^3.$$ При $T_{\infty }\approx 300\mathrm{K}$ и $\epsilon \approx 0.9$ даёт порядка $h_{\mathrm{rad}}\approx 5W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$ — соизмеримо с конвекцией.
- Испарение (латентный поток через открытую поверхность):
$${\dot{Q}}_{\mathrm{evap}}=L_v{\dot{m}}_v,{\dot{m}}_v\approx k_e{A}_{\mathrm{top}}(p_s(T)-p_{\infty }),$$ или часто аппроксимируют как линейный вклад ${\dot{Q}}_{\mathrm{evap}}\approx h_{\mathrm{evap}}{A}_{\mathrm{top}}(T-T_{\infty })$.
Приближённо массовый поток может давать удельный тепловой поток десятки $W/{\mathrm{m}}^2$ (например $q_{\mathrm{evap}}\sim 10\text{–}30W/{\mathrm{m}}^2$ при 60°C и невысокой влажности) — поэтому испарение часто существенно.
Линейная модель и характерное время
- Ввести эффективный коэффициент теплоотдачи
$$h_{\mathrm{eff}}\approx h_{\mathrm{conv}}+h_{\mathrm{rad}}+h_{\mathrm{evap}}.$$ При применимости lumped-модели (см. ниже) решение:
$$T(t)=T_{\infty }+(T_0-T_{\infty })\exp (-\frac{h_{\mathrm{eff}}A}{m_{\mathrm{tea}}{c}_w+m_{\mathrm{cup}}{c}_c}t).$$ Характерное время охлаждения
$$\tau =\frac{m_{\mathrm{tea}}{c}_w+m_{\mathrm{cup}}{c}_c}{h_{\mathrm{eff}}A}.$$
Условия применимости и роль материала/формы
- Число Био для жидкости/чашки: $\mathrm{Bi}=\frac{h{L}_c}{k}$. Если $\mathrm{Bi}<0.1$, температура внутри можно считать однородной и lumped-модель применима. Здесь $L_c$ — характерный размер (объём/площадь), $k$ — теплопроводность материала стенки/жидкости.
- Материал чашки:
- Металл: высокая $k$ — малая внутренняя тепловая сопротивляемость, стенки быстро проводят тепло к наружной поверхности, поэтому металл обычно ускоряет охлаждение чая (особенно если стенка тонкая). Но у полированного металла низкая $\epsilon$ — уменьшает радиацию.
- Керамика/стекло: меньшая теплопроводность — сопротивление теплу через стенки, чашка сама запасает тепло (высокая теплоёмкость) и замедляет остывание. Матовые покрытия увеличивают $\epsilon$ — усиливают радиацию.
- Термос/вакуумная двойная стенка: сильно уменьшает теплопередачу через стенки (практически блокирует конвекцию/проводимость), остаётся только испарение/излучение через горловину — охлаждение очень медленное.
- Форма:
- Широкая и мелкая чашка увеличивает открытую площадь $A_{\mathrm{top}}$ — больше конвекции сверху, больше испарения → быстрее охлаждение.
- Высокая узкая — меньшая открытая площадь, больше вклад боковой конвекции; естественная конвекция над поверхностью может быть слабее.
- Общая площадь боковой поверхности увеличивает суммарный $A$ и ускоряет теплоотдачу.
Порядковые оценки (пример)
- Возьмём $m_{\mathrm{tea}}=0.20\mathrm{kg},c_w=4180J/(\mathrm{kg}\mathrm{K}),A\approx 0.03{\mathrm{m}}^2,h_{\mathrm{conv}}=10W/({\mathrm{m}}^2\mathrm{K})$. Тогда
$$\tau \approx \frac{0.2\cdot 4180}{10\cdot 0.03}=\frac{836}{0.3}\approx 2787\mathrm{s}\approx 46.5\min .$$ Добавление $h_{\mathrm{rad}}\sim 5$ и $h_{\mathrm{evap}}\sim 20$ даёт $h_{\mathrm{eff}}\sim 35$, тогда $\tau$ снижается примерно в $3.5$ раза — порядок 10–15 минут; это показывает, что излучение и особенно испарение могут существенно ускорять остывание.
Простые экспериментальные проверки (что и как измерить)
1. Базовый протокол:
- Налить одинаковый объём чая одинаковой начальной температуры в разные чашки (одновременно или по очереди при одинаковых условиях).
- Измерять $T(t)$ с термопарой или инфракрасным пирометром (термопару лучше опустить в жидкость).
- Фиксировать влажность и скорость воздуха (или работать в тихой комнате).
2. Влияние испарения:
- Сравнить охлаждение при открытой поверхности и при накрытой крышкой. Разница — вклад испарения (и часть конвекции сверху).
- Измерить потерю массы чашки за время (весы) — из массы найти ${\dot{m}}_v$ и вычислить ${\dot{Q}}_{\mathrm{evap}}=L_v{\dot{m}}_v$.
3. Влияние формы:
- Одна и та же масса/объём чая в широкой плоской и в узкой глубокой посуде — сравнить $T(t)$. Ожидается быстрее остывание в широкой (больше $A_{\mathrm{top}}$).
4. Влияние материала:
- Сравнить однаковую геометрию с разными материалами (сталь, керамика, стекло). Ожидаемо: металл быстрее (если стенки тонкие), керамика медленнее; термос — значительно медленнее.
- Измерить температуру внешней поверхности чашки: у металла стенка нагреется быстрее.
5. Влияние конвекции:
- Повторить с вентилятором (моделирует принудительную конвекцию). Увеличение скорости воздуха резко увеличит $h_{\mathrm{conv}}$ и ускорит остывание.
6. Вклад излучения:
- Накрыть чашку зеркальной фольгой (уменьшение $\epsilon$) или поместить рядом радиатор, сравнить. Также можно сделать эксперимент в тёмной/светлой комнате — эффект мал, но полированные поверхности дадут заметное отличие.
Анализ данных
- Подгонка измеренного $T(t)$ экспонентой даст эффективный коэффициент теплоотдачи:
$$\frac{h_{\mathrm{eff}}A}{m_{\mathrm{tea}}{c}_w+m_{\mathrm{cup}}{c}_c}=\text{slope},$$ откуда $h_{\mathrm{eff}}$ можно вычислить.
- Массовая потеря даёт напрямую вклад испарения; разность $h_{\mathrm{eff}}-(h_{\mathrm{conv}}+h_{\mathrm{rad}})$ оценивает $h_{\mathrm{evap}}$.
Ограничения модели
- При больших перепадах температур нелинейность излучения и зависимость насыщенного давления от $T$ важны — тогда лучше использовать полную нелинейную форму $T^4$ и модель испарения с парциальным давлением.
- Вложенные тепловые градиенты в толстой чашке потребуют решения уравнения теплопроводности (если $\mathrm{Bi}\gtrsim 0.1$).
Краткие выводы
- Самые сильные факторы: открытая поверхность (испарение) и конвекция; излучение даёт заметный вклад (~порядок нескольких Вт/м^2K).
- Металлическая тонкая чашка обычно ускоряет остывание (высокая проводимость), керамическая — замедляет (теплоёмкость и сопротивление).
- Форма с большой открытой площадью и большой боковой площадью ускоряет охлаждение.
- Простые эксперименты (измерение $T(t)$, массы, сравнение крышки/без крышки, вентилятор/без, разные материалы/формы) легко подтверждают и количественно оценивают эти эффекты.