Кратко — причины и механизмы: изменение скорости, магнитного поля и проводимости влияет на наведённое ЭДС, токи, силы Лоренца и теплообразование. Дальше — по пунктам с формулами и важными оговорками.
1) Как скорость влияет на тормозящий момент и теплопотери
- Наведённая электрическая поле/ЭДС пропорциональна скорости относительного движения проводника в поле: примерно $E\sim vB$ (или для витка $\mathcal{E}\sim B\ell v$).
- Плотность тока (в омическом приближении): $J=\sigma E\Rightarrow J\sim \sigma vB$.
- Плотность силы Лоренца: $f=J\times B\Rightarrow f\sim \sigma v{B}^2$. Интегрируя по объёму/радиусу получаем тормозящий момент примерно пропорциональный скорости:
$$M\propto \sigma B^{2}v.$$ Для вращающегося диска $v=\omega r\Rightarrow M\propto \sigma B^2\omega$.
- Мощность, рассеиваемая в виде тепла (механическая мощность торможения = джоулевы потери):
$$P=M\omega \propto \sigma B^2{\omega }^2(\text{или}P\sim \sigma v^2{B}^2).$$ - Оговорка: при низких частотах/скоростях эти пропорции справедливы; при больших скоростях вступает эффект скин-слоя, и зависимость от скорости ослабевает (см. пункт о скин-эффекте).
2) Как магнитное поле $B$ влияет
- Наведённая ЭДС и поля пропорциональны $B$, поэтому токи $\sim B$ (при прочих равных). Сила Лоренца и момент — квадратично:
$$M\propto B^2,P\propto B^2{\omega }^2.$$ - Практически: увеличение магнитного потока сильно увеличивает тормозящий момент и потери, но есть ограничения — насыщение ферромагнитного сердечника и пределы на силу магнитов. При насыщении $B$ не растёт с увеличением намагниченности, и выигрыша больше нет.
3) Как проводимость/удельное сопротивление материала ($\sigma$ или $\rho =1/\sigma$) влияет
- В линейной (толщиной меньшей скин-глубины) области: плотность тока $J\sim \sigma E$ даёт $M\propto \sigma$ и $P\propto \sigma$. То есть более проводимый материал даёт больший тормозящий момент и большие джоулевы потери для тех же $B,\omega$.
- Однако при росте частоты/скорости появляется скин-эффект: глубина проникновения токов $\delta \sim \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$. При $\delta \ll$ толщина толщина активного слоя уменьшается, и эффективная зависимость от $\sigma$ ослабевает (увеличение $\sigma$ уменьшает $\delta$, поэтому токи концентрируются у поверхности и чисто линейный рост момента по $\sigma$ перестаёт выполняться). В предельном режиме момент растёт медленнее и может зависеть от $\sqrt{\sigma }$ или иметь иные степенные законы в зависимости от геометрии.
- Температурная обратная связь: джоулевы потери нагревают металл → сопротивление увеличивается (для обычных металлов $\rho (T)$ растёт) → $\sigma$ уменьшается, что снижает наведённые токи и момент; таким образом возникает установившееся состояние между генерируемым теплом и теплоотводом.
4) Дополнительные факторы и предельные режимы
- Геометрия ротора, толщина, зазор между магнитами и ротором, магнитная проницаемость $\mu$ влияют на фактическое распределение $B$ и объём, где протекают токи.
- При очень больших скоростях/частотах тормозной момент перестаёт расти пропорционально $\omega$ из-за скин-эффекта; мощность растёт медленнее, чем ${\omega }^2$, и возможны фазовые сдвиги между полем и током.
- Ограничения по нагреву и насыщению магнитов/сердечника определяют практическую максимальную тормозящую способность.
Короткие итоговые формулы (в линейной низкочастотной приближенческой области):
- $J\sim \sigma vB$,
- $M\sim C\sigma B^{2}v$ (для данного геометрического множителя $C$),
- $P=M\omega \sim C\sigma B^{2}v\omega \sim C^{\prime }\sigma B^2{\omega }^2$.
Вывод: увеличение скорости, магнитного поля и проводимости усиливает наведённые токи и момент в первом приближении (момент ~ $\sigma B^{2}v$ ), но на практике скин-эффект, насыщение магнитов и температурное изменение проводимости корректируют эти зависимости и ограничивают рост момента и теплопотерь.