Кратко и по делу — распределение полей и напряженностей (здесь под «напряженностями» подразумевается магнитная напряжённость $H$; связь с индукцией $B$ и намагниченностью $M$ — ниже) для соленоида и тороида и практические следствия.
Основные соотношения
- В вакууме $\mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{H}$. В линейном магнитном материале $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$.
- Магнитное «давление» и масштабы механических сил: $p_m=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$. Механические (обшивочные, кольцевые) напряжения масштабируются как $\sim p_m\cdot r/t$ (приблизительная оценка для тонкой обшивки радиуса $r$ и толщины $t$).
Соленоид
- Идеальный длинный соленоид (плотность витков $n=N/L$, ток $I$):
$$B_{\text{внутри}}={\mu }_{0}nI,H_{\text{внутри}}=nI.$$ Поле внутри почти однородно вдоль оси; вне идеального бесконечного соленоида $B\approx 0$.
- Конечная катушка (ось $z$ от центра, радиус $R$, длина $L$, $N$ витков): осевая компонента
$$B_z(z)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2L}(\frac{z+L/2}{\sqrt{(z+L/2{)}^2+R^2}}-\frac{z-L/2}{\sqrt{(z-L/2{)}^2+R^2}}).$$ Здесь видно «концевые эффекты»: поле у концов уменьшается и возникает неоднородность.
- Зависимость однородности от геометрии: чем больше отношение $L/R$, тем более однородно поле в центральной части. Для практичных задач $L/R\gtrsim 5\text{–}10$ даёт хорошую центральную однородность.
- Внешние потери и утечки: конечный соленоид даёт заметное внешнее паразитное поле, усиливающее электромагнитные помехи.
Тороид
- Идеальный тороид (число витков $N$, ток $I$, радиальная координата $r$ в пакете провода):
$$B_{\phi }(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$$ (для «тонкого» тороида). Вне замкнутого магнитного контура (внешняя область) поле почти равно нулю.
- Поле внутри сердечника меняется как $1/r$ — значит по поперечному сечению тороида поле неоднообразно (внутренняя сторона сильнее, внешняя слабее). Для тороида с крупным поперечным сечением появляются градиенты.
- Преимущество: минимальные внешние утечки (хорошая защита от излучения); недостаток: сложно получить однородное поле в открытой рабочей зоне внутри/снаружи.
Воздействие ферромагнитных/сверхпроводящих элементов
- Ферромагнитный сердечник увеличивает $B$ в той же геометрии: $B=\mu H$. Сердечник концентрирует поток и уменьшает утечки; но появляется насыщение и демагнитизация, а также неоднородности из-за распределения $\mu$.
- Суперпроводящая оболочка (эффект Мейснера) практически полностью выталкивает магнитное поле — эффективная, но дорогостоящая экранная мера (криогения).
Механические силы и практические ограничения
- Силы и напряжения пропорциональны $B^2$ (см. $p_m$); при больших полях требуются прочные крепления, компоновка охлаждения и расчёт на скручивающие/радиальные нагрузки.
- В тороиде силовая нагрузка на обмотку обычно «самокомпенсирующая» внешне (меньше радиальных утечек), но локальные силы в витках из-за неоднородности поля всё равно значительны.
Практические следствия для экранирования и создания однородных полей
- Для однородного рабочего поля в приборе (NMR, ESR, экспериментальная физика):
- Выбирать длинный соленоид ($L/R$ большой) или специальные конфигурации катушек (Helmholtz, Maxwell, специальные шим‑катушки). Для пары катушек Helmholtz расстояние между катушками = радиус даёт нулевую вторую производную поля в центре, т.е. лучшую локальную однородность.
- Добавлять «shim»-катушки (многочленная корректировка градиентов) и/или ферромагнитные корректирующие элементы.
- Для очень высоких требований использовать сверхпроводящие соленоиды и активное управление токами (подавление дрейфа).
- Для минимизации внешних полей (экранирование, уменьшение помех):
- Тороидальная конструкция предпочтительна — минимальные внешние магнитные утечки.
- Замкнутый магнитный контур из высоко‑μ материала (ящик/му-металлическая оболочка) эффективно проводит поток и экранирует; многослойное экранование + слой с зазором повышает эффективность.
- Активное экранирование: датчики + компенсационные катушки для подавления внешнего фона.
- Компромиссы:
- Соленоид: хорошая однородность внутри, но большие внешние утечки → требует внешнего экрана/возвратного магнитного пути.
- Тороид: хорош для минимизации утечек и помех, плохо подходит когда нужна однородная полевая зона внутри открытого объёма.
- Ферромагнитные экраны ограничены насыщением и требуют правильной геометрии и обработки (отжиг µ‑металла).
Практические рекомендации (коротко)
- Нужна однородность в объёме → длинный соленоид или Helmholtz/Maxwell + шимы; контролировать $L/R$.
- Нужна минимизация наружного поля → тороид или замкнутый µ‑корпус/ячеистый возвращающий магнитный контур.
- Высокие поля → учитывать механические напряжения, использовать крепления и охлаждение; при больших потоках применяют ферромагнитные сердечники и/или сверхпроводящие решения.
- Для точных приборов (NMR, SQUID и т. п.) комбинируют: основная катушка (соленоид), многослойное ферромагнитное и/или сверхпроводящее экранование и активные шим‑системы.
Если нужно, могу дать формулы поля для конкретных геометрий (специфический конечный соленоид, тороид с конечным поперечным сечением) или примеры расчёта экрана/шимов — укажите параметры (размеры, число витков, материалы, требуемая однородность).