Модель и уравнение равновесия.
- Пусть угол отклонения рычага от нейтрали = $\theta$. Нелинейный момент упругости в одном плече зададим общо как $M_r(\theta )$. Внешняя нагрузка (момент от силы на другом плече) управляется параметром $P$ и даёт момент $M_L(P,\theta )$. Условие статического равновесия
$$M_r(\theta )+M_L(P,\theta )=0.$$ - Часто удобно рассматривать простую приближенную форму с нечётной нелинейной жёсткостью
$$M_r(\theta )=k_1\theta +k_3{\theta }^3,M_L(P,\theta )=-P,$$ тогда уравнение равновесия
$$f(\theta ;P)\equiv k_1\theta +k_3{\theta }^3-P=0.$$
Устойчивость стационарных положений.
- Статическая устойчивость определяется знаком второй производной потенциальной энергии или производной правой части по $\theta$:
$$\text{устойчиво если}\frac{\partial f}{\partial \theta }=k_1+3k_3{\theta }^2>0,$$ неустойчиво если эта величина отрицательна. (Экстремумы потенциала соответствуют $f=0$; минимума ↔ устойчиво.)
- В представленной модели эквивалентно через энергию
$$V(\theta )=\frac{1}{2}{k}_1{\theta }^2+\frac{1}{4}{k}_3{\theta }^4-P\theta ,\frac{dV}{d\theta }=f(\theta ;P).$$
Возможные бифуркации и их условия.
1. Склад (saddle‑node, «fold», snap‑through, бифуркация типа развилки корней):
- Возникает, если при изменении $P$ исчезают/порождаются две равновесные позиции. Условия точки склады:
$$f(\theta ;P)=0,\frac{\partial f}{\partial \theta }=0.$$ - Для модели $k_1\theta +k_3{\theta }^3-P=0$ из второго условия
$${\theta }^2=-\frac{k_1}{3k_3},$$ значит склад возможен только при противоположных знаках $k_1$ и $k_3$ (например $k_1>0,k_3<0$). Критическое значение нагрузки в точке склады
$$P_{\mathrm{crit}}=\frac{2k_1}{3}\sqrt{\frac{-k_1}{3k_3}}.$$ При $k_3<0$ в интервале $|P|<P_{\mathrm{crit}}$ может быть три равновесия (две устойчивых и одно неустойчивое) — возможен скачок (snap‑through) и гистерезис при кручении $P$.
2. Питчфорк (симметричная бифуркация, «buckling»):
- Если система симметрична (например $M_r(-\theta )=-M_r(\theta )$ и $P$ — параметр, изменяющий линейную жёсткость $k_1(\lambda )$), то при простом обнулении линейного коэффициента $k_1\to 0$ возможна питчфорковая бифуркация. Для нормализованной формы
$$k_1(\lambda )\theta +k_3{\theta }^3=0$$ при прохождении $k_1(\lambda )=0$ неприводимые решения $\theta \ne 0$ появляются при знаке $-k_1/k_3>0$. Если $k_3>0$ — суперреактивный (supercritical) питчфорк (плавный выход на новые устойчивые положения); если $k_3<0$ — субкритический (переход скачком, возможна неустойчивость).
3. Транскритическая и прочие взаимодействия ветвей:
- Возможны если присутствуют дополнительные симметрии или дополнительные состояния (например две конкурирующие жёсткости); тогда ветви могут пересекаться или обмениваться устойчивостью (условия зависят от конкретной формы $M_r$ и зависимости $M_L$ от $\theta$).
Качественная картина при постепенном увеличении нагрузки.
- Если нелинейность усиливающая ($k_3>0$) и $k_1>0$: единственное монотонное устойчивое равновесие, плавная (без скачков) деформация.
- Если $k_3<0$ и $k_1>0$: возможна многоустойчивость, при достижении $P_{\mathrm{crit}}$ возникает склад и резкий переход (snap‑through) — гистерезис при обратном снижении нагрузки.
- Если $k_1$ может меняться и перейти через ноль (например при росте $P$ эффективная лин.жёсткость обнуляется) — возможен питчфорк (симметричное расщепление положения покоя, аналогичный «выпучиванию»).
Краткие рекомендации для анализа конкретной системы.
- Записать точное выражение момента $M_r(\theta )$ и зависимость внеш. момента $M_L(P,\theta )$.
- Найти уравнение равновесия $f(\theta ;P)=0$.
- Исследовать условия $f=0,\partial f/\partial \theta =0$ (склады) и случай $k_1(\lambda )=0$ для питчфорка; оценить знак ${\partial }^{2}V/\partial {\theta }^2$ для устойчивости.
- При наличии инерции/демпфинга учитывать динамику: быстрое прохождение точки склада даёт динамический «snap», при наличии колебаний возможны и другие динамические бифуркации (например Hopf) при зависимости моментов от скорости.
Если нужно, могу провести подробный разбор на конкретной форме $M_r(\theta )$ и заданной геометрии/нагрузке и построить критические значения и диаграмму равновесий.