Кратко и по делу — влияние температуры и необходимые расчёты.
1) Сопротивление
- Температура влияет почти линейно при умеренных $T$:
$$R(T)=R_0[1+\alpha (T-T_0)],$$ где для меди $\alpha \approx 3.9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ (около $20^{\circ }\mathrm{C}$). Удельное сопротивление при $20^{\circ }\mathrm{C}$: ${\rho }_{20}\approx 1.68\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$.
- Важный момент: при заданном токе $I$ мощность выделяется как
$$P=I^{2}R(T).$$ Для источника напряжения $V$ мощность $P=V^2/R(T)$ — знак обратной связи меняется (при росте $T$ и $R$ мощность уменьшается).
- На высоких температурах зависимость нестрого-линейна; при приближении к плавлению ($T_m\approx 1084.6^{\circ }\mathrm{C}$) свойства резко меняются.
2) Механические свойства и долговечность
- Модуль упругости $E$ снижается с температурой, прочность и предел текучести заметно падают. Типично уже при $T>0.3\dots 0.4T_m$ (в К) начинается существенный спад механической прочности и активируется ползучесть.
- Для меди: рекристаллизация и отжиг происходят при сотнях градусов (характерно изменение твердости и пластичности при \( \sim200\mbox{–}400^\circ\mathrm{C}\)).
- Ползучесть (creep) становится существенной при $T\gtrsim 0.4T_m$ (в К). Для оценки долговечности применяют законы ползучести (например, степенные или Аррениус-зависимости скорости ползучести).
- Повреждение от термоциклирования (усталость из‑за циклов нагрева/охлаждения) — зависит от амплитуды и числа циклов; используют fatigue-кривые и критерии накопленной пластической деформации.
- Коррозия/окисление при высокой температуре и деградация изоляции (если провод в изоляции) ограничивают срок службы.
3) Тепловой режим — какие расчёты нужны
- Определить исходные параметры: геометрию провода ($L,d$), ток/напряжение ($I$ или $V$), материалные свойства как функции $T$: $\rho (T),k(T),c_p(T),{\rho }_{mass}$, эмиссивность $ϵ$, термическое сопротивление контактов.
- Баланс мощности (стационарный):
- Для длинного тонкого провода с конвекцией и излучением в окружение:
$$I^{2}R(T)=h{A}_s(T_s-T_{\infty })+ϵ\sigma A_s(T_s^4-T_{\infty }^4),$$ где $h$ — коэффициент теплоотдачи, $A_s$ — площадь поверхности провода, $T_s$ — температура поверхности, $T_{\infty }$ — температура окружения.
- В простейшем приближении для равновесия можно пренебречь излучением при невысоких $T$.
- Транзиент (если нагрев быстрый): уравнение теплоёмкости
$$\rho c_{p}V\frac{dT}{dt}=I^{2}R(T)-\text{теплопотери}.$$ В приближении «одного узла» характерная постоянная времени
$$\tau =\frac{\rho c_{p}V}{h{A}_s}.$$ Решение: $T(t)=T_{\infty }+(T(0)-T_{\infty }){\mathrm{e}}^{-t/\tau }+\frac{I^{2}R}{h{A}_s}(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau })$ (при слабой зависимости $R(T)$).
- Простая моделировка поперечного распределения температуры требует решения уравнения теплопроводности $\nabla \cdot (k\nabla T)+q=\rho c_p\partial T/\partial t$.
- Оценка уместности одноузловой модели: число Био $Bi=h{L}_c/k$. Для цилиндра $L_c\approx r/2$. Если $Bi<0.1$, можно считать температуру однородной по сечению.
- Для переменного тока учитывать скин‑эффект: глубина скина
$$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega \mu }},$$ что влияет на эффективное сопротивление при высоких частот.
4) Что сравнивать и проверять
- Максимальную температуру $T_{\text{max}}$ с лимитами: рекристаллизация, рабочая температура изоляции, температурный класс материала, температуры начала существенного ползучести.
- Термальные градиенты → механические напряжения (термонапряжения), особенно в закреплённых проводах.
- Долговечность: вычислить скорость ползучести или время до достижения критической деформации (используются эмпирические/модельные зависимости, часто вида $\dot{\epsilon }=A{\sigma }^n\exp (-Q/(RT))$).
- При циклическом нагреве оценить число циклов до разрушения по соответствующим методикам усталости.
5) Практические данные для меди (примерные числа)
- ${\rho }_{20}\approx 1.68\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$, $\alpha \approx 3.9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$.
- Плотность ${\rho }_{\text{mass}}\approx 8960kg/{\mathrm{m}}^3$, $c_p\approx 385J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, теплопроводность \(k\approx 380\mbox{–}400\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\) при $20^{\circ }\mathrm{C}$.
- Плавление: $T_m\approx 1084.6^{\circ }\mathrm{C}$.
6) Рекомендуемая последовательность расчётов для практического случая
- Снять геометрию и режим (I или V, частота).
- Получить начальные R при $T_0$ и формулу $R(T)$.
- Оценить стационарную $T$ решая баланс мощности (включая конвекцию/излучение/теплопроводность в креплениях).
- Выполнить транзиентный расчёт (если требуются пуски/циклы) или численную модель (FEM) при значительных градиентах.
- На основе $T(t)$ оценить механические свойства, время до ползучести и усталости.
Если нужно, могу: 1) рассчитать пример (с вашими $I,d,L$, условиями охлаждения), 2) составить упрощённую модель в Excel/FEM.