Полная сила на заряженную частицу задаётся законом Лоренца:
$$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}).$$ Ключевые свойства и следствия:
- Электростатическая составляющая ${\mathbf{F}}_E=q\mathbf{E}$ действует независимо от скорости и может изменять энергию частицы (делает работу: $\mathbf{v}\cdot {\mathbf{F}}_E\ne 0$).
- Магнитная составляющая ${\mathbf{F}}_B=q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ перпендикулярна скорости, не делает мгновенной работы ($\mathbf{v}\cdot {\mathbf{F}}_B=0$) и только изменяет направление движения (порождает круговое движение в однородном $\mathbf{B}$).
Неоднородные поля — дополнительные эффекты (в приближении малой радиальной размеры орбиты по сравнению с масштабом неоднородности):
- Циклотронные параметры:
$${\omega }_c=\frac{|q|B}{m},r_L=\frac{m{v}_{\perp }}{|q|B},$$ где $v_{\perp }$ — скорость поперёк $\mathbf{B}$. При $r_L\ll L$ (где $L$ — характерный масштаб изменения полей) применимо приближение центра направляющего движения (guiding-center).
- Магнитный момент и магнитная зеркальная сила:
$$\mu =\frac{m{v}_{\perp }^2}{2B},F_{\parallel }=-\mu {\nabla }_{\parallel }B,$$ что даёт отражение частицы в зонах с возрастанием $B$ (магнитное зеркало).
- Сдвиги центра направляющего движения (дрейфы) в неоднородных/пересекающихся полях:
$${\mathbf{v}}_{E\times B}=\frac{\mathbf{E}\times \mathbf{B}}{B^2}(\text{независим от}q,m),$$ $${\mathbf{v}}_{\nabla B}=\frac{m{v}_{\perp }^2}{2q{B}^3}\mathbf{B}\times \nabla B,$$ $${\mathbf{v}}_c=\frac{m{v}_{\parallel }^2}{q{B}^2}\mathbf{b}\times (\mathbf{b}\cdot \nabla )\mathbf{b},\mathbf{b}=\frac{\mathbf{B}}{B},$$ плюс поляризационный дрейф при изменяющемся во времени $\mathbf{E}$.
Когда можно пренебречь одной из составляющих:
- Пренебречь магнитной силой можно, если её величина мала по сравнению с электрической:
$$|\mathbf{v}\times \mathbf{B}|\ll |\mathbf{E}|\Rightarrow |q\mathbf{v}\times \mathbf{B}|\ll |q\mathbf{E}|.$$ Практически это происходит при очень малых скоростях $v\ll E/B$ или при очень малом $B$.
- Пренебречь электрической силой можно, если
$$|\mathbf{E}|\ll |\mathbf{v}\times \mathbf{B}|$$ (например, для быстрых частиц в сильном магнитном поле). В этом случае движение в основном определяется магнитным вращением и соответствующими дрейфами.
Ограничения приближений:
- Guiding-center и формулы дрейфов справедливы при $r_L\ll L$ и при медленном изменении полей во времени (${\omega }_{\text{измен}}\ll {\omega }_c$). Если $r_L\sim L$ или быстроменяющееся поле, нужно решать полные уравнения движения.
- В релятивистском случае сохраняется форма силы $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$, но кинетика связана с импульсом $\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$.
Кратко: электростатическая сила меняет энергию, магнитная — направление; в неоднородных полях появляются зеркальные силы и дрейфы. Сравнение по модулю $E$ и $vB$ даёт простое условие, какую составляющую можно пренебречь, а корректность приближений дополнительно требует $r_L\ll L$ и медленного времени изменения полей.