Коротко — какие параметры и как влияет температура.
Какие физические параметры определяют частоту
- Для струнного колебания (тонкая натянутая струна/балка, у которой доминирует сила натяжения):
$$f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{\mathcal{T}}{\mu }}(n=1,2,\dots )$$ где $L$ — длина вибрирующей части, $\mathcal{T}$ — натяжение, $\mu$ — линейная плотность, $n$ — номер гармоники. Для основной частоты $n=1$.
- Для тонкой упругой балки (гибкость важна — теория Эйлера–Бернулли, например для консоли — свободный конец):
$$f_n=\frac{{\beta }_n^2}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$$ где $E$ — модуль Юнга материала балки, $I$ — момент инерции поперечного сечения, $\rho$ — плотность материала, $A$ — площадь сечения, $L$ — длина; константы ${\beta }_n$ зависят от условий закрепления (${\beta }_1\approx 1.875$ для консоли, другие — для заделки/опор и т.д.).
Как изменение температуры влияет на звучание
- Линейное тепловое расширение: длина меняется по $\Delta L/L=\alpha \Delta \Theta$ ($\alpha$ — коэфф. теплового расширения, $\Delta \Theta$ — изменение температуры). Для струны это прямо меняет $f$ через член $-\Delta L/L$ в логарифме частоты.
- Изменение натяжения: при нагреве опоры и сама струна расширяются, фактическое натяжение $\mathcal{T}$ обычно уменьшается — это понижает $f$. Величина изменения натяжения зависит от жёсткости струны и конструкции инструмента.
- Изменение массы/плотности: объёмное расширение слегка уменьшает $\mu$ или $\rho$, что увеличивает $f$ (эффект маленький).
- Изменение упругих свойств: $E$ обычно уменьшается с ростом температуры — для балок это снижает собственные частоты.
- Воздушные эффекты: скорость звука в воздухе растёт как $\sqrt{T_{\text{abs}}}$ (температура в К), что меняет акустическое излучение и резонансы корпуса.
Приближённая формула для относительного изменения частоты струны:
$$\frac{\Delta f}{f}\approx -\frac{\Delta L}{L}+\frac{1}{2}\frac{\Delta \mathcal{T}}{\mathcal{T}}-\frac{1}{2}\frac{\Delta \mu }{\mu }.$$ Подставляя $\Delta L/L=\alpha \Delta \Theta$, видно, что основной вклад часто даёт термическое удлинение и связанное снижение натяжения.
Практически: изменения на несколько градусов дают относительные сдвиги частоты порядка $10^{-4}-10^{-3}$ на градус для типичных струнных инструментов — маленькие, но на слух заметные при суммарных изменениях в десятки градусов или при быстрой перестройке натяжения/влажности.