Коротко, с нужными формулами и шагами.
Предположения (типичный модельный набор):
- одномерный теплопроводный (оси $x$ — через толщину), две слоистые области $i=1,2$ толщины $t_i$, плотности ${\rho }_i$, теплоёмкости $c_i$, теплопроводности $k_i$, тепловые диффузии $a_i=k_i/({\rho }_i{c}_i)$;
- идеальный контакт на_interface, непрерывность температуры и теплового потока;
- начально $T(x,0)=T_{init}$; сверху (на $x=0$) резкий нагрев можно моделировать как ступенчатое заданное значение $T(0,t)=T_s$ при $t>0$ или как заданный тепловой поток $q_0$;
- боковые границы большие по площади — рассматривать сечение плоским.
1) Температура во времени
- в каждом слое уравнение теплопроводности
$${\rho }_i{c}_i\frac{\partial T_i}{\partial t}=k_i\frac{{\partial }^2{T}_i}{\partial x^2},i=1,2.$$ - условия на интерфейсе $x=x_{int}$:
T1(xint,t)=T2(xint,t),k1∂T1∂x∣xint=k2∂T2∂x∣xint. T_1(x_{int},t)=T_2(x_{int},t),\qquad k_1\frac{\partial T_1}{\partial x}\Big|_{x_{int}}=k_2\frac{\partial T_2}{\partial x}\Big|_{x_{int}}.
T1 (xint ,t)=T2 (xint ,t),k1 ∂x∂T1 xint =k2 ∂x∂T2 xint . - аналитические решения существуют в виде разложения по собственным функциям или через преобразование Лапласа (см. Carslaw & Jaeger). Для приближённой оценки на раннем времени часто используют полубесконечную аппроксимацию: в верхнем слое при коротких временах
$$T(x,t)\approx T_s-(T_s-T_{init})\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{a_{1}t}}\right),$$ и характерная глубина прогрева масштабируется как $\delta \sim \sqrt{at}$. При больших временах профиль «чувствует» второй слой: переходная температура на интерфейсе определяется отношением тепловых сопротивлений и теплоёмкостей; если нижний слой тонкий или сильно теплопроводен, профиль становится менее резким.
Ключевые качества:
- время проникновения тепла $\propto t\sim L^2/a$;
- если $k_1\ll k_2$ — верхний слой быстро нагревается, интерфейс остаётся относительно холодным (большой перепад градиента теплового потока); если $k_1\gg k_2$ — тепло уходит вниз и верх не сильно перегревается;
- для точного временного решения рекомендуется численный метод (метод конечных разностей, конечных элементов) либо табличные аналитические формы для двухслойной полубесконечной среды.
2) Термические напряжения (напрямую зависят от механических ограничений)
Общий подход: сначала найти распределение $T(z,t)$ через толщину, затем вычислить тепловую «свободную» деформацию ${\epsilon }_{th}(z,t)={\alpha }_i(T(z,t)-T_{ref})$, затем решить задачу упругости для слоя(ов) с учётом связности. Приведу два типичных предельных случая и общий метод для связанной биматрицы.
А) Тело полностью закреплено (двунаправленная блокировка расширения). Тогда механические осевые деформации равны нулю, и при равномерной температуре в слое (локально) biaxial стресс
$${\sigma }_i(x,t)=-\frac{E_i}{1-{\nu }_i}{\alpha }_i(T_i(x,t)-T_{ref}),$$ (знак минус — напряжение компенсирует попытку расшириться). Это простая оценка для равномерного нагрева при жёстком закреплении.
B) Слои склеены и пластина свободна (нет внешних осевых сил): возникает сочетание мембранных напряжений и изгиба (эффект биметаллического изгиба). Общий рациональный способ — квазистатический балочный подход (малые деформации, поперечные сдвиги пренебрегаем):
- координата $z$ по толщине, осевая продольная деформация принимается как
$$\epsilon (z,t)={\epsilon }_0(t)-\kappa (t)z,$$ где ${\epsilon }_0(t)$ — осевая средняя деформация, $\kappa (t)$ — кривизна (положительная по соглашению).
- механическое напряжение в слое $i$:
$${\sigma }_i(z,t)=\frac{E_i}{1-{\nu }_i}({\epsilon }_0(t)-\kappa (t)z-{\alpha }_i(T(z,t)-T_{ref}\left)\right).$$ - условия равновесия (свободное тело: нулевой суммарный продольный результат силы и момента):
$$\sum _i{\int }_{A_i}{\sigma }_{i}dA=0,\sum _i{\int }_{A_i}{\sigma }_{i}zdA=0.$$ Записав интегралы по каждому слою и введя площадь сечения $A_i$, момент инерции $I_i$ и среднюю координату ${\bar{z}}_i$ и среднюю по слою температуру ${\overline{T}}_i(t)=\frac{1}{t_i}{\int }_{layer}T(z,t)dz$, получаем линейную систему для ${\epsilon }_0(t)$ и $\kappa (t)$:
$$\{\begin{array}{l}\sum _i\frac{E_i{A}_i}{1-{\nu }_i}({\epsilon }_0-\kappa {\bar{z}}_i-{\alpha }_i({\overline{T}}_i-T_{ref}))=0,\\ \sum _i\frac{E_i{I}_i}{1-{\nu }_i}({\epsilon }_0-\kappa {\bar{z}}_i-{\alpha }_i({\overline{T}}_i-T_{ref}))=0.\end{array}$$ Решив эту систему, получают ${\epsilon }_0(t)$ и $\kappa (t)$, а затем распределение напряжений по толщине:
$${\sigma }_i(z,t)=\frac{E_i}{1-{\nu }_i}({\epsilon }_0(t)-\kappa (t)z-{\alpha }_i(T(z,t)-T_{ref})).$$
Специальная компактная формула для изгиба биметалла при равномерном изменении температуры — формула Тимошенко (для двух слоёв и равномерной $\Delta T$); но при неравномерном по толщине $T(z,t)$ удобнее пользоваться интегральным способом выше или численным решением.
Ключевые физические выводы:
- резкий нагрев сверху даёт сильный температурный градиент по толщине (глубина ~$\sqrt{at}$); это порождает большие локальные термические деформации и, при связности между слоями, значительные внутренние напряжения;
- если верхний слой горячее и не может свободно расшириться, в нём возникают растягивающие (или сжимающие, в зависимости от фиксации) напряжения; при связке слоёв — изгиб, направленный так, что слой, расширяющийся сильнее, оказывается с выпуклой стороны;
- величины напряжений масштабируются как $E\alpha \Delta T$ (модифицировано факторами $(1-\nu {)}^{-1}$ и геометрией/жёсткостями слоёв).
Практическая рекомендация:
- для количественной оценки: сначала численно (FDM/FEM) получить $T(z,t)$, затем интегрально вычислить ${\epsilon }_0(t),\kappa (t)$ и $\sigma (z,t)$ по формулам выше; для быстрых оценок — использовать полубесконечные error‑function решения для $T$ и приближённые формулы Тимошенко для биметалла при почти равномерной по слою температуре.