Причины резонансного увеличения амплитуды
- Собственная (естественная) частота: система имеет спектр собственных частот ${\omega }_n$. Резонанс возникает, когда возбуждающая частота $\omega$ близка к ${\omega }_n$.
- Низкое загущение (демпфирование): малое затухание $\zeta$ даёт высокое усиление колебаний.
- Гармоническое/периодическое возбуждение с частотами, совпадающими с модами (включая кратные/гармоники) или параметрическая/синхронная стимуляция.
- Пространственное/фазовое совпадение возбуждения и форм собственных колебаний (эффективная передача энергии в конкретную моду).
- Нелинейности (жёсткость/трение) могут увеличивать амплитуду и вызывать скачки/бифуркации.
Ключевые уравнения и показатели
- Уравнение для SDOF: $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin (\omega t)$.
- Собственная циклическая частота: ${\omega }_n=\sqrt{k/m}$, в герцах $f_n={\omega }_n/(2\pi )$.
- Затухание: $\zeta =\frac{c}{2m{\omega }_n}$, добротность: $Q=\frac{1}{2\zeta }$.
- Амплитуда установившегося отклика:
$$X(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+(2\zeta {\omega }_n\omega {)}^2}}.$$ - Коэффициент усиления (magnification factor) при нормировке по статической жёсткости:
$$M(r)=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}},r=\frac{\omega }{{\omega }_n}.$$ - Резонансная частота при затухании: ${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$ (для малых $\zeta$ ${\omega }_r\approx {\omega }_n$).
- Амплитуда в резонансе (приближённо для $\omega \approx {\omega }_n$):
$$X_{\max }\approx \frac{F_0}{2\zeta k}=\frac{F_0/m}{2\zeta {\omega }_n^2}.$$
Последствия резонанса
- Большие перемещения/напряжения → пластическая деформация, усталостный износ и разрушение.
- Потеря работоспособности/геометрии, нарушение точности машин.
- Излишние вибрации, шум, усталость креплений и опор.
- Вращающиеся системы: увод вбиттовки/вторичные вибрации, повышенный износ подшипников.
- Нелинейные эффекты: скачки отклика, множественные устойчивые решений.
Как рассчитывать безопасные частоты (пошагово)
1. Идентифицировать входные возбуждения: частоты источников (двигатель, насос, ветрогенерация, шаги, импульсы, спектр турбулентности) — перечислить ${\omega }_{exc}$ или $f_{exc}$.
2. Получить собственные частоты конструкции:
- Простые элементы: аналитические формулы. Например, SDOF ${\omega }_n=\sqrt{k/m}$. Для консольной балки (первая мода):
$$f_1=\frac{1}{2\pi }{\beta }_1^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A{L}^4}},{\beta }_1\approx \mathrm{1.875.}$$ - Сложные конструкции: расчёт методом конечных элементов (modal analysis) — получить набор ${\omega }_{n,i}$ и моды.
3. Сравнить: вычислить отношения $r_i={\omega }_{exc}/{\omega }_{n,i}$ (или $f_{exc}/f_{n,i}$) и коэффициенты усиления $M(r_i)$.
4. Оценить отклик на напряжения/перемещения: модальный супермпозиционный расчёт или временной анализ (transient/steady-state harmonic) и сравнить с допустимыми значениями (предел упругости, допустимая амплитуда, усталость).
5. Установить критерии безопасности: избежать диапазона близкого к резонансу. Правила практики:
- Отделение по частоте: держать относительное расхождение больше примерно $\frac{|f_{exc}-f_n|}{f_n}\gtrsim 0.1$–$0.2$ (т.е. $10\%$–$20\%$) в зависимости от допустимого усиления и демпфирования.
- Или обеспечить такое $\zeta$, чтобы максимум $M(r)$ был ниже допустимого (например $M\le 1.2$–$1.5$ для критичных систем).
6. Если риск есть — применять меры уменьшения отклика (см. ниже).
Практические способы снижения риска
- Увеличить демпфирование $\zeta$ (виброизоляторы, вязкие демпферы, TMD).
- Сместить собственные частоты (изменить k или m): повышение жёсткости, изменение массы, перераспределение.
- Избегать возбуждающих частот (регулировка оборотов, фазировка двигателей).
- Установить демпфирующие/резонансные компенсаторы (tuned mass damper).
- Изоляция и разрыв путей передачи вибрации.
- Для вращающихся валов — проводить анализ критических скоростей (${\Omega }_{crit}\approx {\omega }_n$) и избегать их при рабочей скорости.
Краткий практический чек-лист инженера
- Моделировать $\Rightarrow$ найти ${\omega }_{n,i}$.
- Сопоставить с $f_{exc}$ и оценить $M(r)$ с учётом $\zeta$.
- Проверить напряжения/перемещения против пределов.
- Если $M$ или ответ слишком велики — применять демпфирование/детюнинг/TMD/изменение режимов.
Если нужно, могу кратко помочь с формулами для конкретной конструкции или примером расчёта.