Кратко — модель и формулы, которые нужно использовать; предположения и порядок расчёта.
Входные параметры: масса $m$, радиус $R$, момент инерции $I=km{R}^2$ ($k=2/5$ для сплошного шара), высота наклона $h$, коэффициент упругости для нормальной составляющей удара $e$, коэффициент трения при ударе $\mu$ (для определения тангенциального импульса), коэффициент сопротивления качению (или эквивалентная сила) $C_r$ (так что сила сопротивления $F_r=C_{r}mg$), расстояние от конца плоскости до стопора $L$.
1) Скорость внизу наклонной (при безскольжения):
$$E_{pot}=mgh,E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1+k}{2}m{v}^2,$$ $$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+k}},\omega =\frac{v}{R}.$$ (Если есть трение на скате, уменьшите $h$ на эквивалент потерь или вычтите работу трения.)
2) Движение по горизонтали до стопора (работа сопротивления):
работа сопротивления на пути $x$: $W_{roll}=F_{r}x=C_{r}mgx$. Оставшаяся кинетическая энергия перед ударом:
$$E_{kin,pre}=\frac{1+k}{2}m{v}^2-C_{r}mgx.$$ Если модель постоянного $C_r$, то при движении без столкновений остановочный пробег от данной энергии равен $d=\frac{E_{kin,pre}}{C_{r}mg}$.
3) Удар с стопором — нормальная часть:
нормальная скорость до удара $v_n$ (горизонтальная); по закону восстановления скоростей:
$$v_n^{\prime }=-e{v}_n.$$ нормальный импульс:
$$J_n=m(1+e)v_n.$$ Энергия, рассеянная нормально:
$$\Delta E_{normal}=\frac{1}{2}m(1-e^2)v_n^2.$$
4) Тангенциальная часть удара (роль трения, изменение вращения). Общее уравнение импульсов:
$$v_t^{\prime }=v_t-\frac{J_t}{m},{\omega }^{\prime }=\omega +\frac{J_{t}R}{I}.$$ Если при ударе наступает прилипающее состояние (no-slip), то относительная тангенциальная скорость после удара равна нулю: $v_t^{\prime }+{\omega }^{\prime }R=0$. Тогда тангенциальный импульс
$$J_t=-\frac{km(v_t+\omega R)}{1+k}.$$ Ограничение Кулона: $|J_t|\le \mu J_n$. Если найденный $J_t$ превышает $\mu J_n$, то будет скольжение и тогда $J_t=\pm \mu J_n$ (знак по направлению), и $v_t^{\prime },{\omega }^{\prime }$ вычисляются из уравнений выше с этим $J_t$.
Энергия, рассеянная тангенциально (в тепло, деформацию):
$$\Delta E_{tan}=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_t^{\prime 2})+\frac{1}{2}I({\omega }^2-{\omega }^{\prime 2}).$$
5) Общая потеря энергии в ударе и после:
суммарно рассеянная энергия при ударе
$$\Delta E_{col}=\Delta E_{normal}+\Delta E_{tan}.$$ Остаточная кинетическая энергия после удара
$$E_{kin,post}=\frac{1}{2}m{v}^{\prime 2}+\frac{1}{2}I{\omega }^{\prime 2}.$$
6) Дальнейшее движение и окончательное положение:
после удара шарик либо отскочит назад, либо останется прижимаемым к стопору и затем остановится за расстояние (по той же формуле работы сопротивления)
$$d_{post}=\frac{E_{kin,post}}{C_{r}mg}.$$ Если направление после удара направлено назад, итоговая позиция относительно стопора — это либо смещение назад на $d_{post}$, либо если шарик остаётся у стопора (нулевая скорость), он остановлен в месте контакта.
7) Нагрев стопора: распределение рассеянной энергии зависит от материалов. Приближённо:
- Нормальная часть $\Delta E_{normal}$ идёт в тепло/деформацию шара и стопора (доля зависит от жёсткостей). Для жёсткого стопора большая часть уходит в шар.
- Тангенциальная часть $\Delta E_{tan}$ в основном преобразуется в тепло на поверхности контакта (нагрев стопора и шарика).
Итого тепло, поступившее в стопор, примерно
$$Q_{stop}\approx \alpha \Delta E_{normal}+\beta \Delta E_{tan},$$ где $\alpha ,\beta \in [0,1]$ зависят от материалов (жёсткость, пластичность, контактная площадь). Для грубой оценки можно принять $\alpha \approx 0.5$ если стопор и шар схожи по жёсткости; для очень твёрдого стопора $\alpha$ мало.
Практические шаги для предсказания:
- измерьте/оцените $m,R,k,h,C_r,e,\mu ,L$.
- вычислите $v$ по формуле в п.1, учтите потери на горизонтали до стопора по п.2.
- примените импульсную модель п.3–4, проверьте условие прилипания $|J_t|\le \mu J_n$.
- получите $E_{kin,post}$ и вычислите пробег $d_{post}$ по п.6.
- тепло стопора примерно равно доле рассеянной энергии при ударе (п.7).
Замечания и упрощения:
- Для грубой практической оценки часто достаточно: вычислить $v$ из $mgh$, применить $e$ к нормальной скорости и считать вращение неизменным — тогда упрощённо $E_{diss}=\frac{1}{2}m(1-e^2)v^2$. Но это пропускает обмен вращательной энергии при ударе.
- Для точных предсказаний нужен импульсный расчёт с учётом тангенциального импульса и измерения $e,\mu ,C_r$ и материаловых параметров стопора (модули упругости, пластичность).
Если нужно, могу сделать конкретный численный расчёт для ваших параметров (укажите $m,R,h,k,e,\mu ,C_r,L$).