Возможные механизмы роста амплитуды после короткого удара:
- Резонансное подстро́ивание (autoresonance, phase locking): после удара система через изменение фазы колебаний или малые изменения параметров захватывается в резонанс с периодическими возмущениями от крепления; энергия аккумулируется при согласованной фазе. Модель: $\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F(t)}{m}$, рост возможен при устойчивом фазовом сдвиге, позволяющем положительную среднюю работу внешней силы за цикл.
- Параметрическая возмущающая подстройка: короткий удар меняет параметры (жёсткость, длину) и дальше параметр варьируется периодически, давая параметрический резонанс. Модель: $\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^2[1+\mu \cos (\Omega t)]x=0$. Типичная условие: $\Omega \approx 2{\omega }_0$ и $\mu$ выше порога.
- Импульсная подкачка энергии (phase pumping): серия ударов/внезапных возмущений, синхронизированных по фазе, каждый удар вносит положительную энергию; средний прирост энергии за цикл не нулевой.
- Передача энергии со стороны крепления (base excitation/отрезок с отрицательным демпфированием): демпфирующие элементы или приводы в креплении могут отдавать энергию системе -> эффективное отрицательное демпфирование: $\ddot{x}+2(\zeta -{\zeta }_{\mathrm{neg}}){\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$.
- Нелинейный перенос энергии между модами (внутренний резонанс): удар возбудил высшие моды, из которых нелинейно перетекает энергия в основную моду, приводя к росту амплитуды основной.
- Автоколебания/самовозбуждение (feedback): если есть механизм обратной связи (трение с эффектом «качели», аэродинамика, электромеханика), то энергия поступает постоянно, давая экспоненциальный рост.
Как отличить резонансную подстройку от внешней отдачи энергии — практические признаки и тесты:
1. Фазовое отношение к источнику:
- Измерьте смещение/ускорение крепления и положение маятника; при резонансной подстройке система будет фазово зафиксирована так, что внешняя сила совершает положительную работу в течение цикла (постоянная фаза). При внешней отдаче энергия может приходить в коротких всплесках, фаза не обязана быть постоянной.
2. Спектральный анализ:
- Если возбуждение соответствует четкой частоте внешнего возмущения, в спектре будет явная линия на частоте возмущения. При параметрическом резонансе есть линия на собственной частоте ${\omega }_0$ и возмущающая частота примерно $\Omega \approx 2{\omega }_0$. Для самовозбуждения — узкая линия у ${\omega }_0$ с экспоненциальным нарастанием амплитуды.
3. Зависимость от изменения параметров:
- Измените собственную частоту (жёсткость, длину). При резонансной подстройке амплитуда будет шести́ться с изменением отношения частот; если источник отдаёт энергию независимо от ${\omega }_0$, рост сохранится при сдвиге частоты.
4. Тест блокировкой/изоляцией источника:
- Временно жестко зафиксируйте или демпфируйте крепление; при выдаче энергии от крепления рост исчезнет; при внутреннем подстройке рост может продолжиться (если источник внутри маятника).
5. Временной профиль роста:
- Резонансная подстройка часто проявляется как медленная, фазово-управляемая растущая огибающая; внешняя отдача может дать скачкообразный рост после удара и затем экспоненциальный убывающий/растущий тренд в зависимости от источника. Аппроксимация экспоненциального роста: $A(t)\propto e^{\lambda t}$ с $\lambda >0$ при отрицательном суммарном демпфировании.
6. Зависимость от фазы/времени удара:
- Повторите короткие удары с разной фазой относительно колебаний: при фазовой подкачке рост сильно зависит от фазы (максимум при определённой фазе), при некогерентной внешней отдаче зависимость слабее.
7. Энергетический баланс:
- Измерьте среднюю мощность, передаваемую от крепления: $⟨P⟩=⟨F_{\mathrm{support}}(t)\cdot v(t)⟩$. Если $⟨P⟩>0$ — внешний источник отдаёт энергию.
8. Признаки параметрического возбуждения:
- Наличие роста при отсутствии внешней силы на частоте ${\omega }_0$ но при модуляции параметра на $\Omega \approx 2{\omega }_0$ указывает на параметрический механизм.
Краткий алгоритм диагностики (порядок действий):
1. Записать сигнал $x(t)$ и движение опоры; сделать спектр и извлечь ${\omega }_0$.
2. Измерить фазу между опорой и маятником, и вычислить среднюю мощность $⟨F_{\mathrm{support}}v⟩$.
3. Поменять ${\omega }_0$ (жёсткость/длина) и повторить — смещается ли максимум роста.
4. Повторять удары в контролируемой фазе — проверить зависимость роста от фазы.
5. Зажать/демпфировать опору — посмотреть, исчезает ли рост.
Эти диагностические признаки позволяют отделить резонансное подстроивание (фазовая синхронизация/параметрический захват) от прямой отдачи энергии извне (положительная средняя мощность от крепления или источника).