Коротко — причина: материал стекла диспергирует, показатель преломления $n(\lambda )$ зависит от длины волны, поэтому фокусное расстояние тонкой линзы меняется с $\lambda$. Это даёт продольную и поперечную хроматические аберрации.
Почему математически:
- Фокус тонкой сферической линзы зависит от $n$:
$$\frac{1}{f(\lambda )}=(n(\lambda )-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}).$$ При малом изменении показателя $\Delta n$ сдвиг фокуса приближённо равен
$$\Delta f\approx -\frac{f}{n-1}\Delta n.$$ Если взять эталонный показатель $n_d$ и спектральную разность $n_F-n_C$, вводят число Аббе
$$V_d=\frac{n_d-1}{n_F-n_C},$$ и тогда величина продольной хроматической аберрации между линиями F и C оценивается простым приближением
$$|\Delta f|\approx \frac{f}{V_d}.$$ Поперечная (латеральная) хроматическая аберрация на изображении высотой $y$:
$$\Delta y\approx y\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{y}{V_d}.$$
Как количественно уменьшать при проектировании для школьной лаборатории:
1. Использовать ахроматическую двойку (краун + флинт). Условие ахроматизма для тонких линз с оптическими силами ${\Phi }_i=1/f_i$:
$${\Phi }_1+{\Phi }_2={\Phi }_{\text{треб}},\frac{{\Phi }_1}{V_1}+\frac{{\Phi }_2}{V_2}=0.$$ Отсюда
$${\Phi }_1={\Phi }_{\text{треб}}\frac{V_1}{V_1-V_2},{\Phi }_2=-{\Phi }_{\text{треб}}\frac{V_2}{V_1-V_2}.$$ Пример: для $f=200\text{mm}$, $V_1=64$ (BK7), $V_2=36$ (флинт) получите $f_1\approx +87.5\text{mm}$, $f_2\approx -155.6\text{mm}$.
2. Для ещё лучшего исправления — апохроматы (коррекция на три линии) или использование специальных низкодисперсных/высокодисперсных стекол (подбор по таблицам $V$ и dn/dλ).
3. Уменьшать апертуру (увеличивать относительное отверстие, $f/\#$) — хроматизм менее заметен при больших $f/\#$.
4. Сужать спектр источника — использовать монохромные фильтры, светодиоды узкой полосы или монохроматор; тогда $\Delta n$ малы и аберрация уменьшается пропорционально.
5. Отказ от преломляющей оптики — зеркальные системы (зеркала не диспергируют) или дифракционные элементы при необходимости специфической коррекции.
Практические рекомендации для школьной лаборатории:
- Покупать готовые ахроматические линзы (обозначение «achromat»), они значительно снижают хроматизм по сравнению с одними стеклянными линзами.
- Для простых опытов использовать длиннофокусные линзы (больше $f$) и апертуру/диафрагму, или подбирать узкополосный источник света.
- Для количественной оценки измеряйте сдвиг фокуса между красным и синим источниками и сравнивайте с оценкой $|\Delta f|\approx f/V_d$.
Этого достаточно, чтобы понять природу эффекта и практически снизить его в школьных установках.