Коротко — формула связи и примеры приборов.
1) Уравнение луча (из принципа Ферма, эйлер–лагранжева запись). Для траектории $\mathbf{r}(s)$ с параметром по дуге $s$ имеем
$$\frac{d}{ds}(n(\mathbf{r})\frac{d\mathbf{r}}{ds})=\nabla n(\mathbf{r}),$$ где $|d\mathbf{r}/ds|=1$. Это уравнение определяет кривизну луча при заданном пространственном профиле показателя $n(\mathbf{r})$.
2) Частные и приближённые формы (полезные для анализа):
- Для двумерной задачи с координатами $(x,z)$ и $n=n(x)$ (инвариантность по $z$) существует интеграл движения
$$n(x)\cos \theta =\text{const},$$ где $\theta$ — угол между лучом и осью $z$. Эквивалентно для угла к оси $x$ иногда пишут $n(x)\sin \theta =$ const в зависимости от определения угла.
- Дифференциальная форма для наклона $x(z)$:
$$\frac{d}{dz}\left(n\frac{dx}{dz}\right)=\frac{\partial n}{\partial x}.$$ В параксиальном (малые углы, $s\approx z$) приближении
$$n_0\frac{d^{2}x}{d{z}^2}\approx \frac{\partial n}{\partial x},$$ а изменение угла вдоль луча:
$$\Delta \theta =\int \frac{1}{n}\frac{\partial n}{\partial x}dz.$$
3) Пример: параболический профиль (типичный GRIN)
$$n(r)=n_0(1-\frac{1}{2}{g}^2{r}^2).$$ В параксиальном приближении получается уравнение гармонического осциллятора
$$\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+g^{2}r=0,$$ решение
$$r(z)=r(0)\cos (gz)+\frac{r^{\prime }(0)}{g}\sin (gz),$$ т.е. лучи испытывают синусоидальные прогибы (в волокнах это уменьшает модовую дисперсию).
4) Обратная задача (измерение $n$ по траекториям): решают численно интегрируя уравнение луча (ray tracing) или применяют методы томографии / Абелеву реконструкцию для осесимметричных профилей; для малых отклонений используют приближение интеграла градиента.
5) Приборы и применения:
- GRIN-линзы и GRIN-стержни (оптические коммутационные элементы, миниатюрные объективы, реле-линзы в эндоскопии);
- Градиентные многомодовые оптические волокна (graded‑index fiber) — для снижения модовой дисперсии в телекоммуникациях и изображениях;
- Интегральные фотонные волноводы с управляемым градиентом $n$ (маршрутизация и фокусировка на чипе);
- Термальные (термооптические) линзы и фазовые пластины — использование локального градиента температуры/показателя для управления пучком;
- Диагностика и визуализация градиентов: шлирен, shadowgraph, интерферометрия (не приборы для управления лучом, но для измерения $\nabla n$);
- Применение в микрооптике (микролинзы, коллиматоры для световодов) и в оптических системах, где нужна компактная фокусировка/релеи.
Если нужно, могу дать пошагово, как численно интегрировать уравнение луча для заданного $n(x,z)$ или привести формулы для реконструкции $n(r)$ из экспериментальных углов отклонения.