Ключевая формула (релятивистское движение по окружности):
$$P=\frac{q^{2}c}{6\pi {\epsilon }_0}\frac{{\beta }^4{\gamma }^4}{R^2},$$ где $P$ — мгновенная мощность излучения, $q$ — заряд частицы, $R$ — радиус траектории, $\beta =v/c$, $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}=E/(m{c}^2)$. Для ультрарелятивистских частиц $\beta \approx 1$, поэтому
$$P\propto \frac{q^2{\gamma }^4}{R^2}.$$
Энергия, теряемая за один оборот (приближенно при $\beta \approx 1$):
$$U_0=P\frac{2\pi R}{c}=\frac{q^2}{3{\epsilon }_0}\frac{{\gamma }^4}{R}.$$ Подставляя $\gamma =E/(m{c}^2)$ получаем явную зависимость от массы и энергии:
$$P\propto \frac{q^2}{R^2}{\left(\frac{E}{m{c}^2}\right)}^4,U_0\propto \frac{q^2}{R}{\left(\frac{E}{m{c}^2}\right)}^4.$$ Отсюда при фиксированной энергии $E$: потери масштабируются как $1/m^4$ (и как $1/R^2$ для мощности, $1/R$ для потерь за оборот).
Пример: отношение потерь электрона и протона при одной и той же $E$ и $R$ примерно равно $(m_p/m_e{)}^4\approx (1836{)}^4\sim 10^{13}$, поэтому для протонов синхротронные потери обычно пренебрежимо малы.
Инженерные решения для уменьшения потерь:
- Увеличить радиус кольца $R$ (большой радиус уменьшает кривизну и кв. зависимость потерь).
- Выбирать более тяжёлые частицы (протоны, ионы, мюоны — чем больше $m$, тем меньше SR): пример — переход от e± к p снижает потери на ~$10^{13}$.
- Для лёгких частиц (электроны): применять линейные ускорители/коллайдеры (линейники избегают постоянного изгиба) или энерговозвратные линейные схемы (ERL) для рекуперации энергии.
- Распределять изгиб по большому числу слабых диполей (увеличение эффективного радиуса изгиба), уменьшать локальную кривизну; использовать длинные прямые участки.
- Использовать мощные и эффективные RF-системы (сверхпроводящие резонаторы, energy recovery) для компенсации потерь и снижения потребления.
- При проектировании выбирать оптимальную комбинацию магнитного поля и радиуса (сильное поле уменьшает $R$ и может усилить потери — надо балансировать).
- Для средних задач: рассмотреть мюонные коллайдеры как компромисс (мюон тяжелее электрона → меньше SR, но ограничение — короткий срок жизни).
Кратко: потери растут очень быстро с энергиeй ($\propto E^4$) и резко падают с ростом массы ($\propto 1/m^4$) и радиуса. Поэтому для высоких энергий электронов используют либо очень большие кольца, либо линейные решения и энерговозвратные схемы; для тяжёлых частиц (протоны, ионы) синхротронные потери обычно несущественны.