Коротко и по существу — что учесть и как формализовать.
Что нужно учитывать (силы и моменты)
- Сила тяжести $m\mathbf{g}$ приложенная в центре масс; из неё возникает момент относительно опоры: ${\mathbf{M}}_g=({\mathbf{r}}_G-{\mathbf{r}}_P)\times m\mathbf{g}$.
- Реакции опоры/подшипников $\mathbf{R}$ (силы) и контактные моменты/сдвиги (в т.ч. нормальные и тангенциальные компоненты).
- Гироскопические (инерционные) моменты, выражающиеся через $\mathbf{\omega }\times (\mathbf{I}\mathbf{\omega })$ в уравнениях вращения — обеспечивают прецессию и нутацию.
- Центробежные силы/моменты при несимметричном распределении масс (неудачный баланс): силы порядка $m{r}_{\perp }{\omega }_s^2$.
- Аэродинамические силы/моменты (если существенны).
- Трение в подшипниках и возможные контактные нелинейности (заедание, люфт, удары).
Основные уравнения (Newton–Euler)
- Кинетика центра масс:
$$m{\ddot{\mathbf{r}}}_G=m\mathbf{g}+\mathbf{R}+{\mathbf{F}}_{aero}.$$ - Уравнение моментов относительно центра масс:
$${\mathbf{I}}_G\dot{\mathbf{\omega }}+\mathbf{\omega }\times ({\mathbf{I}}_G\mathbf{\omega })={\mathbf{M}}_g+{\mathbf{M}}_{bearing}+{\mathbf{M}}_{aero}.$$ Здесь ${\mathbf{I}}_G$ — тензор инерции в центре масс, $\mathbf{\omega }$ — угловая скорость корпуса, ${\mathbf{M}}_{bearing}$ — суммарный момент от подшипников (включая трение и реакцию).
При приближённой стационарной прецессии (симметричный классический случай) скорость прецессии можно оценить:
$$\dot{\varphi }\approx \frac{M}{L}=\frac{mgd\sin \theta }{I_s{\omega }_s},$$ где $d$ — расстояние от опоры до центра масс, $\theta$ — угол наклона, $I_s$ и ${\omega }_s$ — момент инерции и скорость вращения вокруг собственной оси.
Как учесть трение в подшипниках
- Простые модели:
- Вязкое трение: ${\mathbf{M}}_f=-c{\mathbf{\omega }}_{rel}$.
- Кулоновское трение: ${\mathbf{M}}_f=-M_c\mathrm{sign}({\omega }_{rel})$ (учесть статическое проскальзывание).
- Комбинированная модель: ${\mathbf{M}}_f=-M_c\mathrm{sign}({\omega }_{rel})-c{\omega }_{rel}$.
- Более реалистично — Stribeck/скоростнозависимая модель:
$$M_f(\omega )=-(M_c+(M_s-M_c)e^{-(|\omega |/{\omega }_s{)}^2})\mathrm{sign}(\omega )-c\omega ,$$ где $M_s$ — статический максимум, ${\omega }_s$ — характерная скорость.
- Если трение зависит от нормальной нагрузки: $M_c=\mu N{r}_{eff}$ и $N$ — реактивная нагрузка подшипника (меняется во времени при прецессии).
Включение в уравнения движения
- Вставить ${\mathbf{M}}_{bearing}={\mathbf{M}}_f+{\mathbf{M}}_{misalign}+\dots$ в уравнение моментов.
- При наличии заеданий/прилипания нужно решать с условиями сцепления (комплементарная форма или моделирование переключения между "прилип" и "скользит").
- Трение приводит к моментной диссипации: уменьшает $I_s{\omega }_s$ по
$$I_s{\dot{\omega }}_s=-M_f({\omega }_s).$$
Практические замечания для предсказания
- Смещение центра масс связывает поступательное и вращательное движение; поэтому необходимо решать полные 6 DOF уравнения (или применять Lagrange/Kane для агрегатной модели).
- Нелинейное и/или дискретное поведение подшипника (люфт, удары) может давать «непредсказуемую» прецессию — моделируйте контакты/удары и считайте чувствительность к малым возмущениям.
- Для точного прогноза измерьте или оцените параметры трения, зазора и несбалансированности; в моделях подшипников используйте экспериментально полученные характеристики момента vs скорости и зависимости от нагрузки.
- Для численной интеграции: жёсткие уравнения и переключения (статическое/кинетическое трение, удары) требуют адаптивных шагов и методов для гибких контактов (event detection, complementarity solvers).
Коротко: включите в модель — вес и момент тяжести относительно опоры, реакции опоры, гироскопические инерционные члены ($\mathbf{\omega }\times \mathbf{I}\mathbf{\omega }$), центробежные силы из несбалансированности, аэродинамику при необходимости, и подробную модель трения подшипников (включая кулоновское, вязкое, Stribeck и зависимость от нормальной нагрузки). Решайте полную систему Newton–Euler (6 DOF) с учётом контактов/переключений для предсказания реальной прецессии.