Кратко и по существу.
1) Зависимость тока от расстояния и барьера:
$$I(z)\propto V{\rho }_s(E_F){\rho }_t(E_F)e^{-2\kappa z},\kappa =\frac{\sqrt{2m\Phi }}{\hslash },$$ где $\Phi$ — средняя работа выхода (барьер) вакуумного промежутка, ${\rho }_s,{\rho }_t$ — плотности состояний образца и зонда. Экспоненциальная факторда делает вертикальную чувствительность очень высокой (пикометры).
2) Как выбор материала зонда и подача напряжения отражают LDOS:
- В общем случае измеряемый ток — свёртка DOS зонда и локальной DOS образца с матричными элементами туннеля. В упрощённой модели Тёрсофф–Хаммана для s‑волнового острия:
$$I(V,\mathbf{r})\propto {\int }_{E_F-eV}^{E_F}{\rho }_s(\mathbf{r},E)dE,$$ и при условии постоянной ${\rho }_t$ выполняется
$$\frac{dI}{dV}(V,\mathbf{r})\propto {\rho }_s(\mathbf{r},E_F-eV).$$ - Если у зонда есть выраженные энергетические особенности (d‑орбитали, сверхпроводящий разрыв и т.п.), они умножают/складывают сигнал; результат — не чистая ${\rho }_s$, а конволюция ${\rho }_s\otimes {\rho }_t$ с энергезависимым матричным элементом. Поэтому материал зонда выбирают: W, PtIr — «плоская» DOS; Pb‑зонд или сверхпроводящий может повысить энергетическое разрешение, но усложняет интерпретацию.
- Полярность и величина смещения $V$ выбирают, чтобы пробежать интересующий энергетический интервал (occupied / unoccupied): положительный $V$ — проба незанятых состояний образца, отрицательный — занятых.
3) Ограничения на разрешение, налагаемые квантовым туннелем:
- Энергетическое разрешение:
$$\Delta E\gtrsim \max (3.5k_{B}T,e{V}_{\mathrm{mod}}),$$ где $k_{B}T$ — термальное уширение, $V_{\mathrm{mod}}$ — амплитуда модуляции в lock‑in. Дополнительно — ширина уровней (время жизни), электрон‑фононные и иные внелинейные эффекты.
- Вертикальное разрешение — очень высокое благодаря экспоненте; малые изменения $\Delta z$ дают большие изменения тока: чувствительность субпикометровая при хорошем шумовом уровне, но на малых расстояниях появляется переход к контакту, пластическая деформация и химическая сила.
- Латеральное разрешение ограничено:
- радиусом вершины зонда и симметрией орбиталей (s‑вершина даёт более «широкую» отклик, d‑орбитали дают более локализованное распределение контрастa);
- длиной затухания волновой функции ${\kappa }^{-1}=\hslash /\sqrt{2m\Phi }$ — чем меньше ${\kappa }^{-1}$, тем более локален отклик;
- эффектом свёртки: изображение = свёртка LDOS образца с эффективной функцией острия (апекс + орбитали).
- Дополнительные ограничения: шумы (ток/вакуум), многоконечность зонда (артефакты), индуцированная полоса/отклик поля при большом $V$ (tip‑induced band bending), неупругие процессы и интерференция электронов.
Практические выводы:
- Для простого пробора LDOS выбирают острый, химически устойчивый зонд с «плоской» DOS; для улучшения энергоразрешения — охлаждение и малые $V_{\mathrm{mod}}$ или сверхпроводящие зонда.
- Для лучшей пространственной локализации важна атомарно острая вершина и контроль расстояния (чтобы не войти в контакт).