Коротко: потому что квантовые состояния одинаковых частиц должны быть либо симметричны, либо антисимметричны при перестановке индексов частиц; для частиц с целым спином — симметрия (бозоны), с полуцелым — антисимметрия (фермионы). В релятивистской теории это следует из теоремы «спин—статистика» (локальность + лоренц-инвариантность → связь спина и поведения при обмене).
Математически:
- Оператор перестановки двух частиц $P_{12}$ действует как
$$P_{12}\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=\psi ({\mathbf{r}}_2,{\mathbf{r}}_1)=\pm \psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2),$$ знак «$+$» для бозонов, «$-$» для фермионов. Двойной обмен возвращает исходную функцию, поэтому собственные значения $P_{12}$ равны $\pm 1$.
- Для фермионов антисимметрия даёт принцип Паули:
$$\psi (\mathbf{r},\mathbf{r})=0,$$ т. е. два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
Проявления в столкновениях:
- При рассеянии амплитуда для одинаковых частиц содержит прямой и обменный вклады; итоговая амплитуда
$$A_{\mathrm{tot}}=A_{\mathrm{direct}}\pm A_{\mathrm{exchange}},$$ и вероятность пропорциональна $|A_{\mathrm{tot}}{|}^2$. Для бозонов знаки складывают амплитуды (конструктивная интерференция → «схлапывание», повышение вероятности совместного выхода), для фермионов — вычитают (деструктивная интерференция → антибундлинг). Эксперименты: эффект Хонга–Оу–Мандела (фотоны, бухтинг), антибунклинг электронов и характерные угловые распределения в рассеянии фермионов.
Проявления в макроскопических системах (статистика и свойства):
- Средняя заполненность одночастных уровней:
$$⟨n(ϵ){⟩}_{\mathrm{F}}=\frac{1}{e^{(ϵ-\mu )/k_{B}T}+1}\text{(Ферми-Дирак)},$$ $$⟨n(ϵ){⟩}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{e^{(ϵ-\mu )/k_{B}T}-1}\text{(Бозе-Эйнштейн)}.$$ - Следствия: у фермионов — вырождение при низких температурах, наличие ферми-поверхности, вырожденное давление (стабилизирует белые карлики, определяет свойства металлов); у бозонов — конденсация в основное состояние при низких температурах (БЭК), сверхтекучесть, лазерное когерентное излучение, фотонный «бейчинг» (HBT).
Дополнение: в двумерных системах возможны обобщённые статистики (аньоны) с произвольной фазой при обмене; в трёхмерном пространстве остаются только ±1.