Коротко — причина смещения: при наклоне пучка относительно оси сферического зеркала нарушается симметрия хода лучей: маргинальные лучи и лучи разных апертур отражаются под разными углами и пересекают ось в разных точках (сферическая абберация) и при поле ≠0 дополнительно возникает кома (асимметричное смещение). В результате центр тяжести (или максимум) ПСФ смещается от параксиального фокуса.
Количественное описание (методы и основные зависимости)
- Параксиально: фокус сферического зеркала $f=R/2$ (где $R$ — радиус кривизны).
- Разложение поверхности/волнового фронта в степенях апертурного координата $\rho$ даёт ведущие члены:
$$W(\rho ,\varphi )=a_{\text{sph}}{\rho }^4+a_{\text{coma}}\alpha {\rho }^3\cos \varphi +\dots$$ где $\alpha$ — угол поля (угол падения), $a_{\text{sph}},a_{\text{coma}}$ — коэффициенты зависящие от геометрии. Первый член — сферическая аберрация (симметричен), второй — кома (даёт смещение в направлении наклона).
- Оценочные скейлинги (порядок величин):
$$\text{продольная сфер. аберрация}\Delta z_{\text{sph}}\sim C_s\frac{h^4}{R^3},\text{трансв. смещение от комы}\Delta x_{\text{coma}}\sim C_c\alpha \frac{h^3}{R^2},$$ где $h$ — апертурный радиус пучка на зеркале, $C_s,C_c$ — числовые константы порядка единицы, зависящие от точной геометрии. Из этих отношений видно, что даже малыми $\alpha$ и при конечной апертуре получается заметное смещение.
- Практичные способы количественной оценки:
1. Лучевая трассировка (геометрический ray‑trace) — численно находятся пересечения отражённых лучей и вычисляется ПСФ/центроид как функция $\alpha$.
2. Теория третьего порядка (Seidel) — аналитические формулы для коэффициентов $a_{\text{sph}},a_{\text{coma}}$ и зависимости смещения от $h,\alpha ,R$.
3. Вейвфронт‑методы: интерферометр или Хартманн‑матрица → разложение в многочленах (Zernike) и извлечение коэффициентов сферич. аберрации и комы.
4. Эксперимент: измерять сдвиг центра ПСФ $\Delta x(\alpha )$ и подгонять модель вида $\Delta x\propto \alpha$ + малые поправки.
Способы коррекции
- Пассивные:
- Заменить сферу асферой (например параболоид) — устраняет сферическую аберрацию для ровного луча.
- Ввести корректирующую пластину/линзу (Schmidt‑корректор или асферическая линза) перед зеркалом.
- Уменьшить апертуру (диафрагмирование) — снижает вклад маргинальных лучей (пожертвовав светосилой / разрешением).
- Активные/адаптивные:
- Деформируемое зеркало или фазовая пластина, настроенная по полученным Zernike‑коэффициентам.
- Малое оптическое смещение/наклон и последующая ре‑коллимация, если смещение однонаправлено (компенсирует только часть эффекта).
- Практический рабочий алгоритм:
1. Замерить волновой фронт или ПСФ как функцию угла.
2. Разложить в Zernike и определить $a_{\text{sph}},a_{\text{coma}}$.
3. Подобрать корректор: асфера/пластина/адаптивное зеркало; при быстром прототипировании — диафрагма + программная деконволюция.
Итог: смещение появляется из-за несовпадения сферической поверхности с идеальной фокусирующей (параболической) формой и усиления асимметрии при наклоне (кома). Для количеств. описания применяют ray‑trace, Seidel‑теорию или разложение волнового фронта в Zernike; для коррекции — переход на асферу/корректор/адаптивные методы либо уменьшение апертуры.