Кратко: анизотропная теплопроводность и переменная шероховатость поверхности не меняют основную форму термодинамического предела (Карно), но увеличивают внутренние необратимости (генерацию энтропии), что снижает реальный КПД. Ниже — суть и нужные параметры.
Основная связь с генерируемой энтропией и КПД:
$$\frac{Q_H}{T_H}-\frac{Q_C}{T_C}=\Delta S_{gen}\ge 0,$$ $$\eta =\frac{W}{Q_H}=1-\frac{Q_C}{Q_H}=1-\frac{T_C}{T_H}-\frac{T_C\Delta S_{gen}}{Q_H}.$$ Следствие: рост $\Delta S_{gen}$ (из-за анизотропии теплопроводности и шероховатости) уменьшает $\eta$.
Анизотропная теплопроводность:
- закон Фоурье в тензорной форме: $\mathbf{q}=-\mathbf{\kappa }\cdot \nabla T$, где $\mathbf{\kappa }=[{\kappa }_{ij}]$.
- скорость генерации энтропии при теплопроводности:
$${\dot{S}}_{gen,cond}={\int }_V\frac{\mathbf{q}\cdot \nabla T}{T^2}dV={\int }_V\frac{(\nabla T{)}^{\top }\mathbf{\kappa }(\nabla T)}{T^2}dV.$$ Последствия: направленная проводимость даёт неравномерное распределение температур, большие градиенты в некоторых направлениях → больше ${\dot{S}}_{gen}$. При оптимальной ориентации анизотропии можно частично уменьшить потери, в общем — эффективная тепловая сопротивляемость $R_{th,eff}$ становится направленно-зависимой.
Шероховатость поверхности:
- изменяет теплообменный коэффициент $h(\mathbf{x})$ и локальный Nusselt: $Nu(\mathbf{x})=f(Re,Pr,ϵ/D,\dots )$, где $ϵ$ — характерная высота шероховатости.
- увеличивает площадь и турбулентность → обычно повышает теплоотдачу (рост $h$), но одновременно увеличивает гидравлическое сопротивление, давление и вязкое диссипативное тепло.
- диссипация вязких сил даёт дополнительную генерацию энтропии: ${\dot{S}}_{gen,fric}={\int }_V\frac{\Phi }{T}dV$ (где $\Phi$ — функция вязкой диссипации), а затраты на преодоление перепада давления $\Delta p$ превращаются в необратимое тепло.
Итого: суммарная генерация энтропии
$$\Delta S_{gen}=\int \frac{(\nabla T{)}^{\top }\mathbf{\kappa }(\nabla T)}{T^2}dV+\int \frac{\Phi }{T}dV+\text{(контактные/краевые вклады)}.$$ Она напрямую уменьшает $\eta$ по формуле выше.
Дополнительные параметры, которые нужно учитывать при оценке КПД:
- тензор теплопроводности $\mathbf{\kappa }=[{\kappa }_{ij}]$ и тензор тепловой диффузии $\mathbf{\alpha }$;
- локальное поле температуры $T(\mathbf{x},t)$ и градиенты $\nabla T$;
- пространственно-зависимый коэффициент теплоотдачи $h(\mathbf{x})$, Nusselt $Nu(\mathbf{x})$;
- параметры шероховатости: высота $ϵ$, средняя/квадратичная шероховатость $R_a,R_q$, относительная шероховатость $ϵ/D$, возможная фрактальная характеристика;
- гидродинамические параметры: локальный Reynolds $Re(\mathbf{x})$, профиль скорости, перепад давления $\Delta p$;
- тепловой контактный сопротивление / проводимость $R_{contact}$ или $h_c$;
- скорость и характер турбулентности (величина вязкой диссипации $\Phi$);
- суммарная скорость генерации энтропии $\Delta S_{gen}$ или её распределение во времени/объёме;
- эффективное тепловое сопротивление $R_{th,eff}$ и биот-число $Bi(\mathbf{x})$.
Коротко о практических выводах: для точной оценки КПД нужно решать поле тепла и потока (с учётом $\mathbf{\kappa }$ и реальной геометрии шероховатости), вычислять $\Delta S_{gen}$ и подставлять в формулу для $\eta$. В общем случае неизбежно снижение реального КПД по сравнению с идеальным из‑за возрастания необратимостей; однако при оптимальной ориентации анизотропии и контролируемой шероховатости можно повысить теплообмен при приемлемых потерях, что на практике даёт компромисс между увеличением теплового потока и ростом диссипации.