Ключевые исходные моменты: в нелинейном диэлектрике $\epsilon$ зависит от поля $E$ (или от напряжения $V$), поэтому конденсатор — нелинейный элемент. Ниже — сжатый анализ явлений, формулы и влияние на потери.
1) Представление поляризации и нелинейности
- Разложение поляризации:
$$P={\epsilon }_0({\chi }^{(1)}E+{\chi }^{(2)}{E}^2+{\chi }^{(3)}{E}^3+\dots ).$$ Для центросимметричных диэлектриков ${\chi }^{(2)}=0$, доминирует ${\chi }^{(3)}$ (кубическая нелинейность).
- Поле-зависимая относительная проницаемость:
$${\epsilon }_r(E)={\epsilon }_{r0}+{\kappa }_{1}E+{\kappa }_2{E}^2+\dots$$ Для плоского конденсатора приближённо $C(E)=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_r(E)A}{d}$.
2) Нелинейная реакция, ток и генерация гармоник
- Заряд и ток:
$$q=C(V)V,i=\dot{q}=C(V)\dot{V}+C^{\prime }(V)V\dot{V}=(C(V)+V{C}^{\prime }(V))\dot{V}.$$ - Для синусоидального входа $V(t)=V_0\cos \omega t$ появятся высшие гармоники $n\omega$ и межмодуляционные компоненты; если есть нечётные/чётные нерегулярности — могут возникнуть и чётные гармоники/постоянная составляющая (выпрямление).
3) Энергия в объёме и её вычисление
- Плотность энергии общая формула:
$$w={\int }_0^E{E}^{\prime }\frac{dD}{d{E}^{\prime }}d{E}^{\prime }={\int }_0^E{E}^{\prime }\epsilon (E^{\prime })d{E}^{\prime },$$ где $D=\epsilon (E)E$. Для линейного случая получается $w=\frac{1}{2}\epsilon E^2$, для нелинейного — интеграл даёт дополнительные члены, зависящие от формы $\epsilon (E)$.
4) Пространственные неравномерности и самофокусировка/филаментация
- Если $\epsilon$ убывает с ростом $E$ (насыщение или «переполюсовка»), то высокая локальная $E$ увеличивает локальный контраст, давая положительную обратную связь — поле фокусируется в «горячих точках» (филаменты), повышая риск пробоя.
- Если $\epsilon$ растёт с $E$, поле выравнивается (отрицательная обратная связь).
- Нелинейность + неоднородности (дефекты, границы слоёв) приводят к локальному нагреву и образованию проводящих дорожек.
5) Увеличение потерь и механизмы их изменения
- Частотная потеря аппроксимируется через комплексную проницаемость $\epsilon ={\epsilon }^{\prime }-\mathrm{i}{\epsilon }^{\prime \prime }$. При больших $E$ ${\epsilon }^{\prime \prime }$ и $\tan \delta ={\epsilon }^{\prime \prime }/{\epsilon }^{\prime }$ становятся зависимы от поля: ${\epsilon }^{\prime \prime }={\epsilon }^{\prime \prime }(E)$.
- Мгновенная плотность рассеиваемой мощности (при синусоиде):
$$p=\frac{1}{2}\omega {\epsilon }_0{\epsilon }^{\prime \prime }(E)|E{|}^2.$$ Нелинейность приводит к появлению дополнительных диссипативных каналов: рассеяние в высших гармониках, гистерезисные потери (в ферроэлектриках) и увеличенная проводимость (плазмо- или термочувствительная).
- Гистерезис (в ферроэлектриках): площадь петли D–E = энергопотери на цикл; при больших амплитудах петля увеличивается, потери растут нелинейно.
- Термическая обратная связь: локальный нагрев меняет $\epsilon (E,T)$ и ${\epsilon }^{\prime \prime }(E,T)$, что может привести к тепловому пробою (runaway).
6) Дополнительные явления
- Генерация гармоник и межмодуляция ухудшают спектральную чистоту и могут требовать фильтрации.
- Появление постоянной составляющей (выпрямление) и смещения рабочего точки.
- Электрострикция/электроупругие эффекты: поле вызывает механическое напряжение/волны, что может вызвать акустические уровни потерь и изменение зазора.
- При очень больших амплитудах — электрический пробой, образование проводящих каналов, трекинг.
7) Практические следствия и рекомендации
- Потери обычно возрастают с амплитудой: ${\epsilon }^{\prime \prime }(E)$ и гистерезис дают нелинейный рост рассеиваемой мощности.
- Возможны горячие точки и предельный пробой — снижать пиковые поля, улучшать охлаждение, применять диэлектрики с малой нелинейной проницаемостью и малыми ${\epsilon }^{\prime \prime }$ на больших полях, устранять дефекты и градиенты поля (скругление электрических краёв, дистанционные покрытия).
- Для анализа полезно моделировать распределение поля с учётом $\epsilon (E,T)$ и рассчитывать полную спектральную плотность рассеяния (включая гармоники).
Короткая формула-итог: нелинейность приводит к полю-зависимой ёмкости/энергии
$$w={\int }_0^E{E}^{\prime }\epsilon (E^{\prime })d{E}^{\prime },$$ и к нелинейным потерям
$$P_{\text{расс}}(\omega )\sim \omega {\epsilon }_0{\epsilon }^{\prime \prime }(E)⟨|E{|}^2⟩,$$ что даёт генерацию гармоник, межмодуляцию, локальные перегревы и обычно — возрастание потерь и риск пробоя.