Кратко и по делу — как из измеренного магнитного поля восстановить глубинную структуру, какие модели инверсии применять и какие неоднозначности неизбежны.
1) Форма прямой задачи (упрощённо)
- Магнитное поле над источниками выражается через потенциал порождённый объёмной намагниченностью $\mathbf{M}({\mathbf{r}}^{\prime })$. Вне источников скалярный магнитный потенциал
$$\Phi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi }{\int }_V{\nabla }^{\prime }\cdot \mathbf{M}({\mathbf{r}}^{\prime })\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime },$$ а наблюдаемое поле $\mathbf{B}(\mathbf{r})={\mu }_0\nabla \Phi (\mathbf{r})$.
- Для дискретной аппроксимации прямая задача обычно пишется линейно
$$\mathbf{d}=\mathbf{Gm}+\mathbf{ϵ},$$ где $\mathbf{d}$ — вектор данных (анома́лии), $\mathbf{m}$ — параметры модели (напр., магнитизация в вокселях или моменты эквивалентного слоя), $\mathbf{G}$ — матрица ядра, $\mathbf{ϵ}$ — шум.
2) Типовые модели инверсии
- Параметрические (низкая размерность): тела типа шара, плит, призмы, тетраэдра — подходят для простых, локализованных аномалий; инверсия по нескольким параметрам (координаты, размеры, направление и величина $\mathbf{M}$).
- Эквивалентный слой (equivalent source layer): замещает неизвестные источники диполями на фиксированной глубине; удобен для интерполяции/преобразований поля и как предобработка для дaльнейшей 3D-инверсии.
- 2D-инверсия (призма, продольные разрезы): когда структура приближённо вдоль профиля — строят распределение намагниченности в плоскости.
- 3D воксельная инверсия (нелокальная): решают задание для распределения намагниченности в объёме с регуляризацией; даёт детальную картину, но требует сильных априорных ограничений.
- Регуляризации и методы: Тихоновская регуляризация (минимизация $\Vert \mathbf{Gm}-\mathbf{d}{\Vert }^2+{\lambda }^2\Vert \mathbf{Lm}{\Vert }^2$), Occam/most-simple (минимум структуры при заданном качестве аппроксимации), фокусирующие регуляризаторы (L1 или эквивалент), ограничения знака/диапазона.
- Байесовский подход / MCMC: для количественной оценки неопределённостей и нелинейных задач (напр., совместная оценка направления и величины намагниченности).
3) Практический рабочий поток
- Предобработка: удаление фоновых полей, коррекция высоты/диапазона, фильтрация шума.
- Качественная интерпретация: аналитический сигнал, угол наклона (tilt), Euler-декомпозиция — дают оценки краёв и глубины для инициализации.
- Выбор модели: для локальной аномалии начать с параметрической модели; при сложной геометрии — 3D воксельная инверсия с априорными геологическими ограничениями.
- Учет векторности намагниченности: использовать модели со векторной $\mathbf{M}$ (включая реманентную часть) или, если направление неизвестно, инвертировать и его.
- Совмещение данных: объединять с грави-данными, МР (магнитной ловушкой), скважинными данными и геологией для уменьшения неоднозначностей.
4) Неизбежные неоднозначности и их природа
- Эквивалентность источников: разные распределения магнитизации могут давать одинаковое внешнее поле (эквивалентные слои). Это математическая неединственность (ядро оператора $\mathbf{G}$).
- Глубина — амплитуда (scale) trade‑off: более глубокая, более сильная магнитизация может воспроизвести ту же аномалию, что и мелкая слабая; без доп. информации глубины плохо определяются.
- Направление намагниченности и реманентность: если неизвестно направление вектора $\mathbf{M}$, то геометрия и направление смешиваются; отрицательная/положительная намагниченность (полярность) даёт зеркальную неоднозначность.
- Снижение разрешения с глубиной: спектральное затухание длин волн ограничивает детальную реконструкцию глубинных структур.
- Нестабильность нисходящего продолжения: усиление шума при переносе поля вниз.
- Латитудные эффекты: преобразование к полю на полюс (reduction-to-pole) нестабильно в низких широтах из‑за неоднозначности направления индуцированного поля и реманентности.
5) Как уменьшить неоднозначности (рекомендации)
- Использовать векторные/градиентные измерения (магнитный тензор, компоненты поля) — дают больше информации, уменьшают ядро.
- Привлекать независимые данные: гравиметрия, сейсмика, геология, скважины.
- Включать априорные ограничения: области возможной/запрещённой магнитизации, знаки, известные глубины.
- Регуляризация адекватной формы: глубинные веса, фокусирующие функционалы для компактных тел.
- Многошаговый подход: качественная трактовка → параметрическая аппроксимация → воксельная 3D‑инверсия с оценкой чувствительности.
- Оценивать неопределённость: проводить тесты синтетики, бутстрэп, байесовские выборки.
6) Короткое резюме
- Метод: формализовать как $\mathbf{d}=\mathbf{Gm}+ϵ$, выбирать модель (параметрическую или воксельную) и регуляризацию (Тихон, Occam, фокусирующая).
- Неоднозначности: эквивалентные источники, глубина‑интенсивность, неизвестная направленность/реманентность, шум и нестабильность нисходящего продолжения — их нельзя полностью устранить, но можно существенно сократить с помощью дополнительных измерений, априорных сведений и адекватной регуляризации.
Если нужно, могу коротко перечислить конкретные алгоритмы/софт (Euler, L2/L1‑инверсии, Occam, MCMC) и типичные настройки регуляризации для полевых задач.