Кратко — какие механизмы, как измерить и как компенсировать при калибровке.
1) Возможные механизмы нелинейной зависимости частоты от амплитуды
- Дюффинг‑жёсткость (кубическая жёсткость): геометрическая/материальная нелинейность => жесте́ние «hardening» или «softening».
- Электростатическое "spring‑softening": зависимость эффективной жёсткости от DC/AC смещения и зазора.
- Нелинейное диссипация (амплитудно‑зависимое затухание): добавочные члены вида $x^2\dot{x}$.
- Геометрическое напряжение / изменение натяжения при больших смещениях (stress‑stiffening).
- Взаимодействие мод (internal resonance, режимная связь).
- Сжимающая плёнка/сжатие газа (squeeze film) и эффект окружающей среды (давление).
- Термоэлектрические/температурные эффекты и зарядовые/поверхностные силы.
2) Как измерить и диагностировать (практика)
- Частотные характеристики при разных уровнях возбуждения: сделайте медленный sweep вверх/вниз и получите амплитудно‑частотные кривые (посмотрите бифуркацию и гистерезис).
- Backbone‑кривая (пик частоты vs амплитуда): для Дюффинга $\omega (A)$ смещается по закону (при слабой нелинейности)
$$\omega \approx {\omega }_0+\frac{3\alpha }{8{\omega }_0}{A}^2,$$ где $\alpha$ — коэффициент кубической жёсткости в уравнении Дюффинга
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x+\alpha x^3=F\cos (\omega t).$$ Подгонкой этой зависимости извлекают $\alpha$.
- Свободное затухание (ring‑down): измерьте $A(t)$ и мгновенную частоту ${\omega }_i(t)$ через преобразование Гильберта: $A(t)=|x+i\mathcal{H}\{x\}|$, ${\omega }_i(t)=\frac{d}{dt}\arg (x+i\mathcal{H}\{x\})$. Это позволяет выделить нелинейное затухание и частотную зависимость по амплитуде.
- Варьирование управляющих параметров для разнесения механизмов:
- Меняйте DC‑смещение/напряжение: если частота сильно зависит — электростатическое влияние.
- Меняйте давление/вакуум: если зависимость исчезает в вакууме — squeeze‑film/газ.
- Меняйте температуру/нагрузку: тест на термоэффекты/смену натяжения.
- Исследуйте режимную связь: проводите гармонический анализ, смотрите побочные гармоники/интермодуляцию.
- Лазерный доплеровский виброметр / картирование мод: отличает геометрические и режимные причины.
- Подгонка расширенной модели с нелинейным затуханием:
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+\eta x^2\dot{x}+{\omega }_0^{2}x+\alpha x^3=F\cos \omega t,$$ извлеките $\eta$ и $\alpha$ методом нелинейной аппроксимации/Harmonic Balance.
3) Компенсация на этапе калибровки и в контроллере
- Поддержание постоянной амплитуды (AGC): удержание A на заданном уровне минимизирует изменение частоты.
- Калибровочная таблица / аппроксимация: измерить $\Delta \omega (A)$ и использовать feed‑forward коррекцию частоты/чувствительности:
$${\omega }_{\text{corr}}={\omega }_{\text{meas}}-k_2{A}^2-k_4{A}^4\dots$$ или использовать полиномиальную/lookup‑таблицу в прошивке.
- PLL с учётом амплитудной поправки: отслеживать фазу/частоту вместе с амплитудой и применять коррекцию.
- Активная компенсация жёсткости: использовать управляющее электростатическое напряжение для добавления противонаправленного нелинейного члена (подбирать DC/AC так, чтобы снизить $\alpha$).
- Управление температурой/упаковкой в вакуум: исключить термо и газовые вклады.
- Дизайн‑изменения: увеличить предельную жёсткость, уменьшить относительные деформации, увеличить зазоры или изменить форму для уменьшения $\alpha$.
- Алгоритмическая линеризация: реализовать обратную модель (инверсию Дюффинга) в цифровом контроллере или использовать нелинейный обратный контроль.
4) Практическая последовательность для инженера
- Измерить амплитудно‑частотную характеристику на нескольких уровнях и получить backbone‑кривую.
- Разделить вклады: варьировать DC, давление, температуру.
- Подогнать модель (извлечь $\alpha ,\eta$) и решить: аппаратное улучшение (вакуум/дизайн) или программная компенсация (AGC + lookup/PLL + feed‑forward).
- Внедрить и верифицировать точность гироскопа при рабочих амплитудах.
Если нужно — могу дать пошаговый протокол измерений (параметры sweep, частоты, методы подгонки) или пример подгонки данных к модели Дюффинга.