Кратко — основные понятия, формулы и критерии риска пластической деформации.
1) Локальная тепловая деформация:
- Свободная тепловая относительная деформация в точке равна
$${ϵ}_T(x)=\alpha \Delta T(x),$$ где $\alpha$ — коэффициент теплового расширения, $\Delta T(x)=T(x)-T_{ref}$.
2) Продольная (осевая) реакция для тонкого стержня (1D):
- Общее отношение между механической деформацией, тепловой деформацией и напряжением:
$$ϵ(x)=\frac{du}{dx},{ϵ}_{mech}=ϵ-{ϵ}_T=\frac{du}{dx}-\alpha \Delta T(x),$$ $$\sigma (x)=E{ϵ}_{mech}=E(\frac{du}{dx}-\alpha \Delta T(x)).$$ - Уравнение равновесия без телесных сил для осевого стержня: $\frac{d\sigma }{dx}=0$ ⇒ $\sigma =$ const.
- Случай: один конец закреплён ($u(0)=0$), другой свободен (нет внешней осевой силы ⇒ $\sigma (L)=0$). Тогда постоянное $\sigma$ должно равняться нулю, т.е.
$$\sigma (x)=0,\frac{du}{dx}=\alpha \Delta T(x),$$ $$u(x)={\int }_0^x\alpha \Delta T(\xi )d\xi .$$ Вывод: при продольном неоднородном нагреве стержня с одним заделанным и одним свободным концом чисто осевых тепловых напряжений не возникает — возникает осевое перемещение (сдвиг) согласно интегралу от локальной тепловой деформации.
3) Когда всё-таки возникают тепловые напряжения:
- Если оба конца заделаны (или внешние закрепления мешают суммарному удлинению), то осевое напряжение равно
$$\sigma =-E\alpha \overline{\Delta T},\overline{\Delta T}=\frac{1}{L}{\int }_0^L\Delta T(x)dx.$$ - Если температура неравномерна по сечению (градиент через толщину), то возникает изгиб (термопрогиб): несовместимость тепловых деформаций по толщине даёт кривизну $\kappa$ и изгибный момент. Стресс при изгибе по координате $z$ (от нейтральной оси) имеет вид
$$\sigma (z)=E({ϵ}_0+\kappa z-\alpha \Delta T(z)),$$ максимальное изгибное напряжение порядка
$${\sigma }_{max}^{bend}\sim E\kappa c,$$ где $c$ — расстояние до наружного волокна. Оценочно при линейном градиенте температуры через толщину $\Delta T_{th}$ порядок величины напряжения от изгиба сравним с $E\alpha \Delta T_{th}$ (порядок, тот же, что и для полного зажима).
4) Риск пластической деформации:
- Пластичность наступит, если локальное эквивалентное напряжение ${\sigma }_{eq}$ (или максимум $|\sigma |$ при простых случаях) превысит предел текучести ${\sigma }_y$.
- Для ориентировочной оценки критического температурного перепада при котором возможен переход в пластичность возьмите
$$\Delta T_{crit}\sim \frac{{\sigma }_y}{E\alpha }.$$ (Например, для стали $E\sim 200$ ГПа, $\alpha \sim 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$, ${\sigma }_y\sim 250$ МПа даёт $\Delta T_{crit}\sim 125$ К — порядок оценки.)
- Учитывайте, что изгибовые концентрации, границы материалов, резкие локальные градиенты (термический шок), многоточечные крепления и остаточные/циклические нагружения существенно снижают порог пластичности. Также важны пластическая релаксация при высоких температурах и скорость нагрева (динамические эффекты).
5) Как решать практическую задачу:
- Сформулировать поле температур $T(x,z,t)$.
- Решить уравнения термомеханики: $\sigma =C:(ϵ-{ϵ}_T)$ с условиями совместимости и равновесия $\nabla \cdot \sigma =0$ и граничными условиями. Для простых геометрий — аналитические решения (см. выше); в общем случае — численные (FEA).
- Сравнить рассчитанные пиковые $\sigma$ (или ${\sigma }_{eq}$) с ${\sigma }_y$ и оценить циклическую долговечность.
Коротко: при одном закреплённом и одном свободном конце чисто осевые напряжения от продольного неравномерного нагрева отсутствуют (появляется перемещение). Напряжения появляются, если есть ограничения на суммарное удлинение (оба конца заделаны) или если температура неравномерна по сечению — тогда возникает изгиб и локальные высокие напряжения. Риск пластичности оценивается через сравнение пиковых напряжений с ${\sigma }_y$ или через приближённую формулу $\Delta T_{crit}\approx {\sigma }_y/(E\alpha )$.