Коротко: потому что для идеального чёрного тела излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом и электромагнитным полем в замкнутом объёме; плотность мод поля определяется только частотой и геометрией пространства, а средняя заполненность мод даётся статистикой Бозе–Эйнштейна и зависит только от температуры. В результате спектральная плотность излучения — функция только частоты (или длины волны) и температуры.
Ключевые моменты и формулы:
- Планковский закон (спектральная интенсивность чёрного тела):
$$B_{\nu }(T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /(kT)}-1},$$ где $h$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана, $c$ — скорость света. Он вытекает из подсчёта плотности мод электромагнитного поля $\rho (\nu )=\frac{8\pi {\nu }^2}{c^3}$ и среднего числа фотонов на моде $⟨n⟩=(e^{h\nu /(kT)}-1{)}^{-1}$.
- Почему только температура:
- в равновесии спектральное распределение фотонов определяется только температурой через фактор Бозе–Эйнштейна;
- в идеальном чёрном теле поглощение равно излучению для каждой частоты (закон Кирхгофа), поэтому материаловые детали не влияют на форму спектра, лишь обеспечивают идеальное поглощение (эмиссия = $B_{\nu }$).
- От планка к закону Стефана–Больцмана: интегрируя по всем частотам и учитывая геометрию излучения (радиантность/поток через поверхность),
$$j^{\ast }={\int }_0^{\infty }\pi B_{\nu }(T)d\nu =\sigma T^4,$$ где постоянная Стефана–Больцмана
$$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}.$$ (Альтернативный вывод использует энергоёмкость поля $u_{\nu }$ и соотношение потока и плотности энергии $j=cu/4$ для изотропного поля.)
Физические предпосылки, лежащие в основе:
- термодинамическое равновесие между полем и веществом;
- большой однородный резонатор/камера (континуум мод → непрерывный спектр);
- поглощающие стены (идеальная оптическая толщина; для чёрного тела — полный поглотитель);
- квантование энергии мод (основа Planck — стоп ультрафиолетовой катастрофы классической теории).
Интерпретация отклонений у реальных тел:
- вводят спектральную и угловую эмиссивность ${ϵ}_{\nu }(\theta ,T)$ (для серого тела часто используют постоянную $ϵ$ ≤ 1). Тогда спектральная радиация:
$$L_{\nu }(\theta ,T)={ϵ}_{\nu }(\theta ,T)B_{\nu }(T).$$ Итоговый поток для серого тела: $j=ϵ\sigma T^4$.
- причины отклонений: неполная поглощаемость (отражение), частотнозависимая прозрачность/поглощение (линейчатые спектры у газов, резонансы у диэлектриков/металлов), размерные эффекты (частицы малых размеров — Mie/Rayleigh), поверхностная текстура и анизотропия, неравновесность (двухтемпературные поля).
- практические следствия: измеряемая «эффективная» (радиационная) температура зависит от ${ϵ}_{\nu }$; спектральные особенности дают информацию о составе и структуре тела; при малой оптической толщине модель чёрного тела неприменима.
Кратко: идеальный чёрный спектр определяется только $T$ благодаря термодинамическому равновесию и квантовой статистике фотонов; закон Стефана–Больцмана — интеграл Планка с геометрическим фактором $c/4$; отклонения объясняются частотно- и направленно-зависимой эмиссивностью, конечными размерами и неравновесностью.