Коротко: квантовое вырождение электронов даёт вырожденное давление, независимое от температуры, которое поддерживает белый карлик против гравитационного сжатия; это определяет уравнение состояния, массово-радиационную зависимость и охлаждение звезды. Наблюдаемые параметры (спектр, параллакс, фотометрия, динамика в системах) позволяют восстановить массу и радиус.
Основные физические соотношения (в сыром KaTeX):
- Уравнение состояния вырожденного ферми-газа:
- не-релятивистское (низкая плотность):
$$P=\frac{(3{\pi }^2{)}^{2/3}{\hslash }^2}{5m_e}{n}_e^{5/3},n_e=\frac{\rho }{{\mu }_e{m}_u}$$ что даёт политропический закон $P\propto {\rho }^{5/3}$.
- ультра-релятивистское (высокая плотность):
$$P=\frac{(3{\pi }^2{)}^{1/3}\hslash c}{4}{n}_e^{4/3}$$ т.е. $P\propto {\rho }^{4/3}$.
- Последствия:
- для неврелятивистски вырожденного газа масштаб радиуса от массы:
$$R\propto {\mu }_e^{-5/3}{M}^{-1/3}.$$ - при переходе к релятивистскому вырождению предел Чандрасекара:
$$M_{\mathrm{Ch}}\approx 1.44M_{\odot }{\left(\frac{{\mu }_e}{2}\right)}^{-2}.$$ - при увеличении массы радиус уменьшается; при $M\to M_{\mathrm{Ch}}$ устойчивость теряется.
Термодинамические эффекты:
- Вырожденные электроны практически не вносят теплоёмкость (электронная теплоёмкость вырожденного газа мала), поэтому теплоёмкость определяется ионной решёткой и меньше, чем у идеального газа => быстрый пад температуры при охлаждении.
- На ранних стадиях могут доминировать нейтрино-охлаждение; на поздних — фотонное излучение поверхности. Это определяет кривые остывания белых карликов, используемые для датирования.
Наблюдаемые параметры и способы оценки массы и радиуса:
- Спектроскопия (линии): измерение поверхностной гравитации $g$ через профиль линий и модельные спектры:
$$g=\frac{GM}{R^2}.$$ - Параллакс + фотометрия: при известном расстоянии $d$ и измеренном потоке $F$ и $T_{\mathrm{eff}}$:
$$F=\frac{L}{4\pi d^2},L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4$$ => радиус из $R=\sqrt{L/(4\pi \sigma T_{\mathrm{eff}}^4)}$.
- Гравитационный красный сдвиг линий:
$$z\approx \frac{GM}{R{c}^2}$$ даёт соотношение $M/R$.
- Динамические методы (двойные системы, затме­ния, спектроскопические орбиты): прямые измерения массы по Кеплеру.
- Астеросейсмология: собственные колебания даёт чувствительность к внутренней структуре и массе.
- Комбинации: спектроскопия (лог $g$) + радиус (из параллакса и $T_{\mathrm{eff}}$) дают массу: $M=g{R}^2/G$.
Практическая стратегия: измерить $T_{\mathrm{eff}}$, спектр (лог $g$), параллакс (расстояние) и по возможности гравитационный красный сдвиг или динамическую массу; совместная модельная подгонка (атмосфера + вырожденная ЭОС) даёт $M$ и $R$ с наименьшей неопределённостью.