Почему возникает эффект Доплера в оптике и радиолокации, и как можно использовать его для измерения скорости отдаляющихся и приближающихся объектов с учётом релятивистских поправок
Почему возникает эффект Доплера в оптике и радиолокации, и как можно использовать его для измерения скорости отдаляющихся и приближающихся объектов с учётом релятивистских поправок
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Почему возникает эффект Доплера
- Для волн (света, радиоволн) относительное движение источника и приёмника меняет частоту прихода волн: из-за изменения скорости поступления фаз (классическая картина) и из‑за преобразований времени/пространства Лоренца для электромагнитных волн. Для света важна релятивистская временная дилатация и аберация лучей, поэтому с увеличением vvv появляется дополнительно трансверсальный (чисто релятивистский) вклад.
Классический (некоторостный) приближённый результат
- Для малых скоростей вдоль луча (vr≪cv_r\ll cvr ≪c) относительная сдвиг частоты (однократно, например астрономическое наблюдение линии) даёт
Δff≈−vrc, \displaystyle \frac{\Delta f}{f}\approx -\frac{v_r}{c},fΔf ≈−cvr , где vr>0v_r>0vr >0 — радиальная скорость от наблюдателя (приближение отрицательно, удаление положительно).
Релятивистская формула (прямо вдоль линии визирования)
- Для монохроматического излучения при чисто продольном движении (скорость vvv вдоль линии зрения, β=v/c\beta=v/cβ=v/c): при удалении
fobs=femit1−β1+β, \displaystyle f_{\rm obs}=f_{\rm emit}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},fobs =femit 1+β1−β , при приближении знак β\betaβ меняется и формула даёт увеличение частоты:
fobs=femit1+β1−β. \displaystyle f_{\rm obs}=f_{\rm emit}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.fobs =femit 1−β1+β . - Эквивалентно можно писать
fobs=femit γ(1±β),γ=11−β2, \displaystyle f_{\rm obs}=f_{\rm emit}\,\gamma(1\pm\beta),\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},fobs =femit γ(1±β),γ=1−β2 1 , где знак «+» для приближения (источник движется к наблюдателю).
Универсальное обратное решение (измерение скорости)
- Для одномерного (однопроходного) случая, определив отношение R=fobsfemitR=\dfrac{f_{\rm obs}}{f_{\rm emit}}R=femit fobs , радиальную скорость в долях ccc находят из
β=1−R21+R2. \displaystyle \beta=\frac{1-R^2}{1+R^2}.β=1+R21−R2 . - Для радара (двухпроходного — послали сигнал, он отразился и вернулся) частота возвращённого сигнала получается с двумя последовательными сдвигами; при удалении
freffemit=1−β1+β. \displaystyle \frac{f_{\rm ref}}{f_{\rm emit}}=\frac{1-\beta}{1+\beta}.femit fref =1+β1−β . Тогда
β=1−r1+r,r=freffemit. \displaystyle \beta=\frac{1-r}{1+r},\quad r=\frac{f_{\rm ref}}{f_{\rm emit}}.β=1+r1−r ,r=femit fref . Для малых скоростей это даёт классическое приближение Δf/f≈−2vr/c\Delta f/f\approx -2v_r/cΔf/f≈−2vr /c.
Угловые и транзверзальные эффекты
- Если движение не вдоль луча, используется общая релятивистская формула с углом; при чисто поперечном направлении наблюдается чисто релятивистический сдвиг (трансверсальный):
fobs=femitγ \displaystyle f_{\rm obs}=\frac{f_{\rm emit}}{\gamma}fobs =γfemit (редкое смещение из‑за дилатации времени).
Практическое применение
- В оптике/астрономии: измеряют смещение известных спектральных линий λ \lambdaλ или частоты fff и используют указанную формулу для vrv_rvr . Для небольших скоростей удобна приближённая формула vr≈−c Δf/fv_r\approx -c\,\Delta f/fvr ≈−cΔf/f.
- В радиолокации: измеряют разностную (битающую) частоту между посланным и принятым сигналом; для обычных земных скоростей релятивистская поправка пренебрежимо мала, но для высокоскоростных объектов (порядка 0.01c0.01c0.01c и выше) используют точные релятивистские формулы.
Когда важны релятивистские поправки
- Если v≳0.01cv\gtrsim 0.01cv≳0.01c (∼3000\sim 3000∼3000 км/с) или требуемая точность сравнима с относительными сдвигами порядка процентов — применять точные формулы; для типичных автомобильных/авиационных скоростей достаточно классического приближения.
Если нужно, могу привести пример расчёта скорости по измеренным fobsf_{\rm obs}fobs и femitf_{\rm emit}femit .