Кратко: при переходе от малых к больших амплитуд период растёт и перестаёт быть независимым от амплитуды. Основная причина — разница между $\sin \theta$ и приближением $\theta$.
Формулы и пояснения:
- Малые углы (линеаризация): уравнение движения $\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\theta =0$ даёт период
$$T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$ Здесь предполагается $\sin \theta \approx \theta$.
- Точный период для амплитуды ${\theta }_0$ выражается через полный эллиптический интеграл первого рода:
$$T({\theta }_0)=4\sqrt{\frac{L}{g}}K(\sin (\frac{{\theta }_0}{2})),$$ и монотонно возрастает с ростом ${\theta }_0$.
- Разложение в ряд для малых, но конечных амплитуд:
$$T({\theta }_0)=T_0\left(1+\frac{1}{16}{\theta }_0^2+\frac{11}{3072}{\theta }_0^4+\cdots \right).$$ Первое поправочное слагаемое даёт относительное увеличение примерно $\frac{1}{16}{\theta }_0^2$.
Численные ориентиры:
- ${\theta }_0=5^{\circ }(0.0873\text{рад})$: прибавка $\sim 0.05\%$.
- ${\theta }_0=10^{\circ }(0.1745\text{рад})$: прибавка $\sim 0.19\%$.
- ${\theta }_0=20^{\circ }(0.3491\text{рад})$: прибавка $\sim 0.76\%$.
(для больших углов нужны более точные вычисления через $K$).
Какие приближения при малых углах становятся недействительными:
- $\sin \theta \approx \theta$ — перестаёт быть точным; это основная причина изменения периода.
- Квадратичная аппроксимация потенциала $\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ — при больших $\theta$ необходимы высшие члены.
- Следствие: система перестаёт быть гармонической, решение уже не синусоидальное и период зависит от амплитуды.
Это достаточно для оценки и перехода от линейной к нелинейной модели.