Коротко — два основных эффекта: появление «добавочной массы» (fluid added mass) увеличивает эффективную инерцию и потому увеличивает период; вязкость даёт сопротивление (демпфирование), которое гасит амплитуду и при заметном демпфировании слегка уменьшает частоту колебаний.
Ключевые формулы и оценки:
- период невязкого простого маятника: $T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
- если тело погружено в жидкость, вводят добавочную массу $m_a$ (зависит от формы и плотности жидкости). Для малой шаровой массы часто используют приближение $m_a\approx \frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{fl}}V$ (примерно для сферы в потенциальном потоке). Тогда эффективная масса $m_{\mathrm{eff}}=m+m_a$ и новый «незатухающий» период примерно
$$T^{\prime }\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}\frac{m+m_a}{m}}=T_0\sqrt{1+\frac{m_a}{m}}.$$ Для $m_a\ll m$ сдвиг мал: $T^{\prime }\approx T_0\left(1+\frac{1}{2}\frac{m_a}{m}\right)$.
- вязкое демпфирование в малом числе Рейнольдса (стоксовский режим) даёт силу пропорциональную скорости: для сферы $F_d=6\pi \eta rv$, тогда эквивалентный коэффициент демпфирования $c\approx 6\pi \eta r$ (или соответствующий крутящий/линейный эквивалент для вашей геометрии). скорость затухания
$$\gamma =\frac{c}{2(m+m_a)},$$ амплитуда убывает как $\exp (-\gamma t)$. Собственная затухающая частота
$${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^{\prime 2}-{\gamma }^2},{\omega }_0^{\prime }=\sqrt{\frac{g}{L}\frac{m}{m+m_a}}.$$ При слабом демпфировании ($\gamma \ll {\omega }_0^{\prime }$) период практически равен $2\pi /{\omega }_0^{\prime }$.
- при больших скоростях/числах Рейнольдса сопротивление нелинейно ($F_d\propto {\rho }_{\mathrm{fl}}{C}_{D}A{v}^2$) — демпфирование амплитудно-зависимое и расчёт сложнее.
Важнейшие параметры для расчёта затухания и изменения периода:
- вязкость жидкости $\eta$ (определяет линейный коэффициент демпфирования в стоксовском режиме);
- плотность жидкости ${\rho }_{\mathrm{fl}}$ (определяет добавочную массу и числовые коэффициенты невязкого/инерционного сопротивления);
- геометрия маятника (радиус, объём $V$, площадь поперечного сечения $A$); форма задаёт $m_a$ и $c$;
- масса груза $m$ и длина $L$;
- частота/амплитуда колебаний (через число Рейнольдса $Re$ и толщину граничного слоя $\delta =\sqrt{\frac{2\eta }{{\rho }_{\mathrm{fl}}\omega }}$ меняются характеры сопротивления);
- близость стен/ограничений (увеличивает демпфирование и $m_a$).
Вывод: основной эффект на период — увеличение за счёт добавочной массы ($T^{\prime }\approx T_0\sqrt{1+m_a/m}$); затухание контролируется в первую очередь вязкостью $\eta$, плотностью ${\rho }_{\mathrm{fl}}$, формой/размером тела и массой груза.