Классическая модель: частица массой $m$ в одномерном бесконечном ящике длины $L$ даёт строго дискретные уровни
$$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2},n=1,2,\dots$$ Отсюда ключевое масштабирование — все энергии пропорциональны обратному квадрату размера:
$$E_n\propto \frac{1}{L^2}.$$
Некоторые полезные следствия и формулы
- нулевая (минимальная) энергия: $E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ (нет состояния с $E=0$);
- разность соседних уровней
$$\Delta E_n=E_{n+1}-E_n=\frac{(2n+1){\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2},$$ в частности $\Delta E_1=3E_1$;
- сила (давление) со стороны квантовой частицы на стенку
$$F_n=-\frac{d{E}_n}{dL}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{m{L}^3}.$$
Числовые оценки (электрон, $m=m_e$):
- для $L=1\text{nm}$: $E_1\approx 0.376\text{eV}$, $\Delta E_{1\to 2}\approx 1.13\text{eV}$ — оптическая/инфракрасная шкала;
- для $L=1\text{cm}$: $E_1\sim 6\times 10^{-34}\text{J}\approx 3.8\times 10^{-15}\text{eV}$ — пренебрежимо мало по сравнению с тепловой энергией.
Наблюдаемые эффекты на разных масштабах
- микро/нано ( $L$ порядка нм — десятков нм): уровни широко разнесены, квантовая дискретность видна в спектрах. Практически:
- квантовые точки: размер управляет «эффективной зонной щелью», цвет люминесценции меняется (сдвиг в сторону синего при уменьшении $L$);
- квантование проводимости и поперечных мод в наноканалах (количественные ступени проводимости);
- при энергиях уровней сравнимых с $k_{B}T$ или энергией кулоновского «заряда» проявляется одноэлектронное туннелирование и блокада Кулона.
- макро ( $L$ больших размеров): расстояния между уровнями $\Delta E\ll k_{B}T$ и образует практически непрерывное множество состояний — классическое/полуклассическое поведение, квантовые эффекты усредняются и невидимы в макроскопических измерениях.
- универсально: уменьшение $L$ увеличивает энергию и её чувствительность к изменению размера ($\partial E/\partial L\propto L^{-3}$), поэтому наноструктуры сильно реагируют на геометрию.
Дополнительно: в реальных твердых телах эффективная масса $m^{\ast }$ и взаимодействия меняют численные значения ( $E\propto 1/m^{\ast }$ ), а множество частиц и периодический потенциал приводят к зонам, а не к простому набору уровней ящика.