Кратко — на низких температурах теплопроводность металла определяется суммой электронной и фононной частей. Основные зависимости и причины:
1) Электронная часть
- Общая формула (кинетическая): ${\kappa }_e\simeq \frac{1}{3}{C}_e{v}_F{l}_e$, где $C_e$ — электронная теплоёмкость, $v_F$ — скорость Ферми, $l_e$ — средняя длина свободного пробега электронов.
- Для свободного электронного газа $C_e=({\pi }^2/2)N(E_F)k_B^{2}T$ и при выражении через плотность электронов $n$ даёт масштабирование
${\kappa }_e\propto n^{2/3}{l}_{e}T.$ То есть при прочих равных увеличение $n$ повышает ${\kappa }_e$ через больший $v_F$ и плотность состояний.
- Поведение по температуре: при очень низких $T$ рассеяние на примесях доминирует ($l_e\approx$ const) ⇒ ${\kappa }_e\propto T$. Если же electron–phonon-рассеяние существенно, то $l_e$ убывает с $T$ (в блоч‑Гринштейновском режиме вклад рассеяния растёт очень быстро при повышении $T$), и зависимость меняется.
- Связь с электрической проводимостью: закон Видемана–Франца $\frac{{\kappa }_e}{\sigma T}=L$ (константа Лоренца $L$) — изменение электронной плотности, влияя на $\sigma$, пропорционально влияет и на ${\kappa }_e$, если тип рассеяния остаётся тот же.
2) Фононная часть
- Формула: ${\kappa }_{ph}\simeq \frac{1}{3}{C}_{ph}{v}_s{l}_{ph}$, где $C_{ph}$ — фононная теплоёмкость, $v_s$ — скорость звука, $l_{ph}$ — длина свободного пробега фононов.
- При $T\ll {\Theta }_D$ (Дебая) $C_{ph}\propto T^3$ ⇒ при ограничении длины пробега границами ( $l_{ph}\approx$ const) получаем ${\kappa }_{ph}\propto T^3$.
- Изменение фононного спектра (смягчение решётки, уменьшение $v_s$ или ${\Theta }_D$) меняет и $C_{ph}$ и $v_s$. Подставляя ${\Theta }_D\propto v_s$, приближённо
${\kappa }_{ph}\propto \frac{T^3{l}_{ph}}{v_s^2}.$ То есть снижение $v_s$ увеличивает теплоёмкость фононов, но уменьшает перенос из‑за меньшей скорости; итог зависит от того, как меняется $l_{ph}$.
- Дополнительные механизмы рассеяния (примеси, дефекты, рассеяние на электронах) сокращают $l_{ph}$ и сильно уменьшают ${\kappa }_{ph}$.
3) Взаимодействие электронов и фононов
- Увеличение плотности состояний на Ферми‑уровне $N(E_F)$ усиливает электрон‑фононное взаимодействие. Это даёт конкурирующий эффект: больше носителей → потенциально выше ${\kappa }_e$, но при сильном e–ph‑взаимодействии $l_e$ уменьшается (понижается ${\kappa }_e$) и дополнительно фононная теплопроводность падает из‑за усиленного рассеяния фононов на электронах.
- На практике результат зависит от баланса: при очень низких $T$ обычно электронная часть доминирует и даёт $\kappa \propto T$ (при прямых кристаллах с чистотой), фононная часть даёт более быстрорастущий вклад $\propto T^3$, но с меньшим коэффициентом.
Краткий итог: изменение плотности электронов меняет электронную теплопроводность примерно как ${\kappa }_e\propto n^{2/3}{l}_{e}T$ (и через изменение проводимости по закону Видемана–Франца), а изменение фононного спектра влияет на ${\kappa }_{ph}$ через $v_s$, ${\Theta }_D$ и длину пробега фононов; сильное электрон‑фононное взаимодействие снижает обе составляющие за счёт уменьшения $l_e$ и $l_{ph}$.