Почему луч света изгибается при прохождении через среду с градиентом показателя преломления, как работают градиентные линзы и волоконные профили с GRIN, и где это применяется на практике?
Почему луч света изгибается при прохождении через среду с градиентом показателя преломления, как работают градиентные линзы и волоконные профили с GRIN, и где это применяется на практике?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Коротко и формально
- Принцип Ферма / эйконал: фаза S(r)S(\mathbf r)S(r) удовлетворяет
∣∇S(r)∣=n(r).|\nabla S(\mathbf r)|=n(\mathbf r).∣∇S(r)∣=n(r). Это даёт уравнение луча в векторной форме
dds(n s^)=∇n,\frac{d}{ds}\bigl(n\,\hat{s}\bigr)=\nabla n,dsd (ns^)=∇n, где sss — путь вдоль луча, s^\hat{s}s^ — единичный вектор касательной. Это показывает напрямую: градиент ∇n \nabla n∇n изменяет направление луча.
- Для стратифицированной среды n=n(y)n=n(y)n=n(y) получается закон сохранения
n(y)sinθ(y)=const,n(y)\sin\theta(y)=\text{const},n(y)sinθ(y)=const, что объясняет явления типа миража — лучи изгибаются вверх/вниз при сильном градиенте температуры у поверхности.
GRIN‑линзы (градиентные линзы)
- Часто используются параболические профили для упрощения поведения:
n(r)=n0(1−12Ar2)(r — радиальная координата).n(r)=n_0\Bigl(1-\tfrac{1}{2}A r^2\Bigr)\quad (r\ \text{— радиальная координата}).n(r)=n0 (1−21 Ar2)(r — радиальная координата). В параксиальном приближении получается простое гармоническое уравнение для поперечного смещения r(z)r(z)r(z):
d2rdz2+Ar=0,\frac{d^2 r}{dz^2}+A r=0,dz2d2r +Ar=0, отсюда лучи — синусоиды вдоль оси zzz. Характерная «длина шага» (pitch)
P=2πA,P=\frac{2\pi}{\sqrt{A}},P=A 2π , четверть шага (фокусировка коллимированного пучка) равна
L1/4=π2A.L_{1/4}=\frac{\pi}{2\sqrt{A}}.L1/4 =2A π . - Практически: компактная фокусировка/коллимация без сферических поверхностей, низкие аберрации, удобно для миниатюрных объективов и оптических соединений.
GRIN‑волоконные профили
- Типичный профиль (аппроксимация параболой) для мультимодового GRIN‑волокна:
n(r)≈n0(1−Δr2a2),n(r)\approx n_0\Bigl(1-\Delta\frac{r^2}{a^2}\Bigr),n(r)≈n0 (1−Δa2r2 ), где aaa — радиус сердцевины, Δ\DeltaΔ — относительная разность показателей. Для этого профиля лучи следуют синусоидальным траекториям, и различные моды имеют почти одинаковое время прохождения — сильно уменьшается мультимодовая дисперсия.
- Волновая трактовка: решение уравнения Гельмгольца
∇2E+k02n2(r)E=0\nabla^2 E + k_0^2 n^2(\mathbf r)E=0∇2E+k02 n2(r)E=0 даёт набор собственных мод, у паробалического профиля модовые скорости выравниваются, что улучшает передачу импульсов в мультимодовом волокне.
Применения на практике
- Мини- и микрообъективы, объективы для эндоскопии, микроскопические объективы в смартфонах.
- Коллиматоры и фокусирующие элементы в оптических коммутациях, встраиваемая оптика (GRIN‑стержни).
- Мультимодовые GRIN‑волокна для коротких линий передачи с уменьшённой модовой дисперсией, оптические пучковые формирователи, сенсоры.
- Оптические сопряжения лазер — волокно (улучшение сопряжения VCSEL → волокно).
- Атмосферная рефракция (мираж, уклон звёздного изображения), адаптивная оптика и дизайн градиентных метаматериалов.
Кратко: градиент показателя создает локальные «силы» (∇n\nabla n∇n), которые отклоняют лучи; при специальных профилях (особенно параболических) лучи ведут себя предсказуемо (синусоидально), что используют для фокусировки, уменьшения дисперсии и компактной оптики.