Можно извлечь (при хорошей SNR и широкополосном сигнале) следующие физические параметры слоёв и интерфейсов:
- Толщины $d_i$ слоёв (через интервалы резонансных пиков).
- Акустические импедансы $Z_i={\rho }_i{c}_i$ (через амплитуды отражения).
- Звуковые скорости $c_i$ и/или плотности ${\rho }_i$ при наличии дополнительных известных величин или доп. измерений (например, если известно ${\rho }_i$, то $c_i=Z_i/{\rho }_i$).
- Коэффициенты поглощения/затухания ${\alpha }_i$ (по ширине резонансов / Q-фактору).
- Качество контакта/коэффициенты отражения интерфейсов $R_{ij}$, шероховатость и адгезия (через фазу и частотную зависимость).
- Для упругих/анизотропных материалов — продольные и сдвиговые скорости, модуль Юнга/сдвига и т.п., при наличии многоугловых/поляризационных данных.
Ключевые физические соотношения (суть резонанса и извлечения параметров)
- Условие резонанса (простая Fabry–Pérot картина для слоя толщины $d$ и скорости $c$):
$$2kd+{\varphi }_{\mathrm{bnd}}=2\pi m,k=\frac{2\pi f}{c},$$ откуда для равномерных периодов резонансных частот
$$\Delta f=\frac{c}{2d}.$$ - Отношение импедансов даёт амплитуду отражения на интерфейсе:
$$r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}.$$ - Связь ширины резонанса с потерями (Q-фактор):
$$Q=\frac{f_0}{\Delta f}.$$ При приближении экспоненциального затухания амплитуды вдоль пути:
$$\alpha \approx \frac{\pi f_0}{Qc},$$ где $\alpha$ — коэффициент затухания (1/длина).
Математическая модель для многослойной структуры — матричный метод переноса (TMM). Для слоя $i$ с параметрами $k_i,c_i,Z_i,d_i$ матрица слоя:
$$M_i=\left(\begin{array}{cc}\cos (k_i{d}_i)& i{Z}_i\sin (k_i{d}_i)\\ i{Z}_i^{-1}\sin (k_i{d}_i)& \cos (k_i{d}_i)\end{array}\right),$$ общая матрица $M={\prod }_i{M}_i$. Комплексный коэффициент отражения от системы (при волне, падающей из среды $0$ в последнюю среду $N+1$) выражается через элементы $M$ и импеданс $Z_{N+1}$:
$$R(f)=\frac{M_{11}{Z}_{N+1}+M_{12}-M_{21}{Z}_{N+1}-M_{22}}{M_{11}{Z}_{N+1}+M_{12}+M_{21}{Z}_{N+1}+M_{22}}.$$
Обратная задача (алгоритмика, практика)
1. Сбор данных: измерить комплексный спектр отражения $R_{\mathrm{meas}}(f)$ (амплитуду и фазу) в максимально широком диапазоне; при возможности — под разными углами и поляризациями.
2. Предобработка: калибровка, удаление системного отклика, шумоподавление, временная сегментация/дефазирование.
3. Формулировка прямой модели: TMM с параметрами $\theta =\{d_i,Z_i,c_i,{\alpha }_i,\dots \}$.
4. Оптическая/стоимостная функция, например невзвешенная или взвешенная LS:
$$\underset{\theta }{\min }\sum _f{\left|R_{\mathrm{meas}}(f)-R_{\mathrm{model}}(f;\theta )\right|}^2+\text{регуляризация}(\theta ).$$ 5. Решение оптимизационной задачи: комбинировать глобальные (GA, simulated annealing) и локальные градиентные методы (Levenberg–Marquardt); для несводимости и мультиколлинеарности — использовать приоритеты/приборные априори и множественные углы.
6. Оценка неопределённости: линейная аппроксимация/Fisher, бутстрэп или байесовский MCMC для постераrior распределений параметров.
7. Валидация: синтетические тесты, независимые измерения (толщиномером, денситометрия, угловые данные), проверка чувствительности и идентифицируемости.
Практические замечания и ограничения
- Расрешающая способность по толщине ограничена полосой частот: минимально разрешимая $d\sim c/(2\Delta f_{\mathrm{BW}})$.
- Корреляции параметров: например $d$ и $c$ дают одинаковую $\Delta f$ — для их разделения нужны доп. данные или априорные знания.
- Нелинейность и многозначность решения — обязательны регуляризация и оценка неопределённости.
- Если слои очень тонкие (субволновые), резонансы смещаются и амплитуда чувствительна к интерфейсным потерям; нужно учитывать дисперсию, вязкоупругие свойства и рассеяние.
Кратко: извлекают толщины, импедансы, скорости, плотности (с доп. данными) и потери; задача решается через матричный прямой расчёт (TMM) и нелинейную подгонку спектра с регуляризацией и оценкой неопределённости, а для улучшения разрешения используют многочастотные, многоугловые и фазовые измерения.