Если один из размеров сосуда $L$ становится сравним с средней длиной свободного пробега частиц $\lambda$ (то есть возрастает число Кнудсена $\mathrm{Kn}=\lambda /L\sim 0.1÷10$), газ выходит из гидродинамического (сплошного) режима и переходит в разрежённый / транзитный / свободно-молекулярный режим. Основные изменения и необходимые поправки:
Классификация по $\mathrm{Kn}$ - Континуум: $\mathrm{Kn}\ll 1$ — применимы уравнения Навье–Стокса с условием прилипания (no‑slip).
- Слип-рégime: $10^{-3}\lesssim \mathrm{Kn}\lesssim 0.1$ — нужен скольжение по стенке и температурный джамп.
- Транзитный: $0.1\lesssim \mathrm{Kn}\lesssim 10$ — гидродинамическая модель недействительна; требуется кинетическая теория.
- Свободно-молекулярный: $\mathrm{Kn}\gg 1$ — столкновения между молекулами редки, перенос определяется взаимодействием с поверхностями.
Основные физические эффекты
- Нарушение локального термодинамического равновесия в близи стен (слой Кнудсена толщиной $\sim \lambda$).
- Появление скольжения скорости по стенке (velocity slip) и скачка температуры (temperature jump).
- Давление перестаёт быть обязательно скалярной функцией состояния: вводится тензор давления $P_{ij}=\int m{c}_i{c}_{j}f(\mathbf{x},\mathbf{v})d^{3}v$, возможна анизотропия и нормальные напряжения.
- Классические законы Ньютона о вязкости и Фурье для теплопроводности становятся приближёнными; появляются нечётко локальные (несвязные) и высшие по градиентам члены.
Что менять в теории и уравнениях
1. Переход к кинетическому описанию (Больцмановское уравнение):
$${\partial }_{t}f+\mathbf{v}\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}f+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot {\nabla }_{\mathbf{v}}f=C[f],$$ где $f(\mathbf{x},\mathbf{v},t)$ — функция распределения, $C[f]$ — оператор столкновений (можно приближать BGK-моделью $C[f]=-\nu (f-f_M)$).
2. Границы — кинетические условия. Типичные модели отражения:
- диффузное (полная аккомодация),
- зеркальное (спекулярное),
- смешанное с коэффициентом аккомодации $\alpha$. Эти условия задают скольжение и джамп.
3. Модификации в гидродинамических уравнениях (для малых, но не нулевых $\mathrm{Kn}$):
- Chapman–Enskog: нулевой порядок → уравнения Эйлера; первый порядок по $\mathrm{Kn}$ → уравнения Навье–Стокса с вязкостью $\mu$ и теплопроводностью $\kappa$.
- Второй порядок → бурнеттовы и супебурнеттовы члены (включают высшие по градиентам поправки к тензору напряжений и тепловому потоку). Burnett-термы дают выражения типа дополнительных членов $\sim \mu \lambda {\nabla }^2\mathbf{u}$ и т.д., но эти уравнения часто нестабильны и требуют аккуратной физической интерпретации.
- Моментные методы (Grad, 13 моментов и т.д.) — альтернативная замкнутая система уравнений для неравновесных моментов.
4. Граничные условия (примеры)
- Maxwell slip (упрощённо):
uslip=2−σσ λ∂ut∂n∣wall, u_{\text{slip}}=\frac{2-\sigma}{\sigma}\,\lambda\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\text{wall}},
uslip =σ2−σ λ∂n∂ut wall , где $\sigma$ — коэффициент тангенциальной аккомодации, $u_t$ — касательная скорость, $n$ — нормаль к стенке.
- Temperature jump (упрощённо):
Twall−Tgas=2−σTσT C λ∂T∂n∣wall, T_{\text{wall}}-T_{\text{gas}}=\frac{2-\sigma_T}{\sigma_T}\,C\,\lambda\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|_{\text{wall}},
Twall −Tgas =σT 2−σT Cλ∂n∂T wall , где ${\sigma }_T$ — тепловая аккомодация, $C$ — численный коэффициент зависящий от модели.
5. Уравнение состояния
- Локальный идеальный закон $p=n{k}_{B}T$ по‑прежнему применим при локальном равновесии, но в неравновесном (высокий $\mathrm{Kn}$) нужно работать с полным тензором давления $P_{ij}$. Давление на стенку может определяться потоком импульса молекул (особенно в свободно-молекулярном режиме).
Практические рекомендации
- Для $\mathrm{Kn}\lesssim 0.1$: можно использовать Навье–Стокса с условиями скольжения и температурного джампа.
- Для $0.1\lesssim \mathrm{Kn}\lesssim 10$: необходимо решение Больцмановского уравнения (либо модели BGK/ES-BGK, либо метод моментов, либо численно DSMC — метод статистических столкновений).
- Для $\mathrm{Kn}\gg 1$: DSMC или молекулярная динамика; гидродинамические модели неприменимы.
Кратко: при $L\sim \lambda$ надо перейти от сплошной гидродинамики к кинетике (Больцман), ввести кинетические граничные условия (аккомодация, диффузное/спекулярное отражение), учитывать слой Кнудсена (скольжение/джамп) и при необходимости использовать модели BGK/Grad/DSMC или добавить бурнеттовы поправки к уравнениям движения.