Для увеличения угловой скорости шара вдвое необходимо изменить его кинетическую энергию.

Кинетическая энергия вращения шара равна:
K = 1/2 I ω^2,

где I - момент инерции шара, равный 2/5 mR^2, а ω - угловая скорость.

Пусть первоначальная угловая скорость шара равна ω, а работу W, которую нам нужно совершить, чтобы увеличить угловую скорость вдвое, обозначим как δW.

Тогда после увеличения угловой скорости вдвое, новая угловая скорость будет равна 2ω.

Кинетическая энергия после увеличения угловой скорости:
K' = 1/2 I (2ω)^2 = 1/2 I 4ω^2 = 2 I ω^2.

Тогда изменение кинетической энергии:
ΔK = K' - K = 2 I ω^2 - 1/2 I ω^2 = 3/2 I ω^2.

Работа δW, которую нам нужно совершить, равна изменению кинетической энергии:
δW = ΔK = 3/2 I ω^2 = 3/2 (2/5 mR^2) * ω^2 = 6/5 mR^2 ω^2.

Подставляя известные значения, получим:
δW = 6/5 2 0.5^2 (2π)^2 = 6/5 2 0.25 4π^2 = 48π^2/5 ≈ 30.19 Дж.

Таким образом, чтобы увеличить угловую скорость шара вдвое, необходимо совершить работу примерно 30.19 Дж.