Для расчета времени, за которое распадется 77% атомов радона 222, воспользуемся формулой экспоненциального распада:

N(t) = N0 * e^(-λt),

где:
N(t) - количество атомов в момент времени t.
N0 - начальное количество атомов.
λ - скорость распада (константа полураспада), λ = ln(2) / T1/2.
t - время.

Известно, что период полураспада T1/2 = 3.8 сут. Значит, λ = ln(2) / 3.8 = 0.1825 сут^-1.

Пусть N0 - начальное количество атомов, тогда оставшиеся атомы после времени t составляют 23% (100% - 77%):

N(t) = N0 * e^(-0.1825t).

Так как N(t) = N0 * 0.23, подставляем это в формулу:

N0 0.23 = N0 e^(-0.1825t).

Делим обе стороны на N0:

0.23 = e^(-0.1825t).

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(0.23) = ln(e^(-0.1825t)),
ln(0.23) = -0.1825t.

Таким образом, время t, за которое распадется 77% атомов радона 222, равно:

t = ln(0.23) / -0.1825 = 3.18 сут.