Пусть расстояние между автомобилями в момент времени t будет равно L(t). Обозначим время, через которое автомобили достигнут минимального расстояния, как t_min.

При движении автомобилей вдоль перпендикулярных дорог их расстояние друг от друга будет уменьшаться, поэтому производная расстояния L(t) по времени t в точке t_min будет равна 0. То есть L'(t_min) = 0.

Из движения автомобилей можно записать:
L(t) = sqrt((v1t)^2 + L0^2) для первого автомобиля,
L(t) = v2(t_min - t) для второго автомобиля.

Используя производную, найдем t_min:
d/dt[L(t)] = (v1t)/sqrt((v1t)^2 + L0^2) = -v2,
(v1t_min)/sqrt((v1t_min)^2 + L0^2) = v2,
(v1t_min)^2 = (v2^2)(t_min^2 + L0^2),
v1^2 t_min^2 = v2^2 t_min^2 + v2^2 L0^2,
(v1^2 - v2^2) t_min^2 = v2^2 L0^2,
t_min = L0 sqrt(v2^2 / (v1^2 - v2^2)).

Подставляя значение t_min в уравнение для L(t), найдем минимальное расстояние между автомобилями:
L(t_min) = sqrt((v1t_min)^2 + L0^2) = sqrt((v1 L0)^2 / (v1^2 - v2^2) + L0^2)
L_min = sqrt((v1^2 * L0^2) / (v1^2 - v2^2) + L0^2).

Таким образом, минимальное расстояние между автомобилями в процессе их движения будет равно sqrt((v1^2 * L0^2) / (v1^2 - v2^2) + L0^2).